高数xt-6

高数xt-6内容摘要：

第六章 定积分的应用 一、定积分的元素法 1 、选取积分变量 x 及积分区间 [a,b] 2 、在 [a,b] 上任取小区间 [x, x+ dx] ，求出 U 的近似表达 式 U dU  f  x  dx （即积分元素 ） （即 b 3 、 U  f  x  dx  a 二、在几何上的应用 直角坐标 1 、面积 2 、体积 b A   f  x dx a 参数方程 （略） 极坐标系 A   1      2 d  2 平行截面面积已知 V  b A x dx 旋转体 b  a 2 V    f  x   dx a 1 直角坐标 s  3 、弧长 参数方程 b  s  a   1  y' 2 dx  ' 2 ( t )  ' 2 ( t )dt  极坐标系 s   r 2    r ' 2   d  平均值 4、 均方根 1 b y f  x  dx  a b a 1 b 2 D f  x dx  a b a 三、在物理上的应用 1 、功的计算 2 、水的压力 3 、引力 4 、有效值 2 P344 10. 求由抛物线 y 2 4ax与过焦点的弦所围成的图形面积 y 的最小值。 由 y 2 4ax 知， 抛物线焦点 到准线的距离为 2a 建立适当的极坐标系如图， 则在 O  解 F  a ,0  x 该极坐标系下，抛物线的极坐标方程为  r ,     1  1  cos   2   2a 2   所求图形的面积为 2     2a  1  d ,    0,  . S       2  1  cos    即 r 2a  r cos  2a r 1  cos  x O d , 3  1 1  S '   2a   2 2 1  cos    1  cos     2       8a 2 cos  2 1  cos  1  cos  2  令 S '   0, 得   . 2  当 在 的左侧附近取值时，S '    0; 2  当  在 的右侧附近取值时，S '    0; 2  所以  是函数取得极小值的点，也是它取得最小值的点。 2 4  1  cos 3 2  2 2 a  2   a 3 2 2  2 8a  3  2 d 2a  csc d a 2 4 min S 2  0 8a 3 2 3 2 2  2 3 2 2  2   1 4 sin 4  2 d    csc d  2  2 4 3 2   1  2    2 3   1  cot  d  cot   a  cot  cot  2  2 2 3 2    2 2 a  1 y 8 4ax d x  a x 3 3 2 a 0 O  min S 2a 3 2 2  2 F  a ,0  x 5 P351 5 （ 4 ）由摆线 x a  t  sin t , y a 1  cos t  及 y 0 所围成的图形绕直线 y  2a 旋转所得旋转体的体积。 y 解 设 x为积分变量，积分 y  2a 区间为  0 ,2a  , 在  0 ,2a  上任取小区间 x , x  dx  , o 则体积元素为 x x  dx 2a dV   2a  dx   2a  y  dx   4ay  y 2 dx 2 2  2   4a 2 1  cos t   a 2 1  cos t  a 1  cos t dt   a 3 3  5 cos t  cos 3 t  cos 2 t dt 2   V  a 3 3  5 cos t  cos 3 t  cos 2 t dt 7 2 a 3 0 6 x P351 9 、证明：由平面图形 0  a  x  b ,0  y  f  x  绕 y 轴 y 旋转所成的旋转体的体积为 y  f  x b V 2  xf  x dx a 解 设 x为积分变量，积分区间为  a , b , 在  a , b 上任取小区间  x , x  dx  , 则体积元素为 dV 2xf  x dx b o a x x  dx b x 2 V   x  dx  f  x   x 2 f  x  2xf  x dx  f  x  dx  dx 2 2xf  x dx V 2  xf  x dx a f  x 2x 7 P369 2 2   x  2  y 1 5. 圆盘 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积。 解 由 P351 9. 知，所求体积为 3 2 y V  2 2  x 1   x  2  dx y  1   x  2 2 1 令 x  2 sin t , 则 x 2  sin t , dx cos tdt .   x : 1  3; t :   2   2  2   2 2  2 o 1  2 3 x . V 4   2  sin t  cos 2 tdt 奇函数     4   2 cos 2 tdt  2 sin t cos 2 tdt  8 2 1  cos 2t dt 0  2     1 2 8  t  sin 2t  4 2  2 0 8 1 2 2 2 P369 6. 求抛物线 y  x 被圆 x  y  3 所截下的有限 2 部分的弧长。 解 y 1 2   y x 由  2  x 2  y 2 3 - 2 o 2 解得抛物线与圆的两个交点     2 ,1 、 2 ,1 。  y'  x 所以所求弧长为 L 2  0 2 1 x 2 2   2 1  x  ln x  1  x  1  x dx  2 2 0  2   6  ln 2  3  2  9 x P369 7. 半径为 r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的 比重与水相同，现将球从水中取出，需做多少功？ 解 y 建立如图所示的直角坐标系， 则圆的方程为 x 2  y 2 r 2 y    r, r , 在   r, r  上任取小区间  y , y  dy  , 要将球提到水面上，与  y , y  dy  2r y  dy o x y 对应的部分需移动 2r , 由于球的 比重与水相同， 在水中运动的一段 距离 r  y , 外力不做功，出水面所移动的 一段距离 r  y , 外力所做的功 ，即功元素为  2 dW  r  y  r  y 2  dy 2 其中   9.8kN / m 3 10 将整个球移出水面所做的功为 r   W    r  y  r 2  y 2 dy r 奇函数 r r 2 2    r r  y dy   y r 2  y 2 dy    r  r     r 1 3  3 2  r y  ry  3  0 4  r 4 3 11 P368 8. 边长为 a和 b 的矩形薄板，与液面成  角斜沉于 液体内，长边平行于液面而位于深 h 处，设 a  b , 液体的比 重为 , 试求薄板每面所受到的压力。  h 解 如图所示薄板与液面成 角， 建立如图所示的坐标系。 b a 设 x 为积分变量， h  h   h  h ,b  x ,b  , 在   sin  sin    sin  sin      x h sin  x  dx b  h x sin  上任取小区间  x , x  dx  , 则压力元素为 dp  x sin  adx 所受压力为 b p a sin  h h sin  sin  1 xdx  ab  2h  b sin   2 12 o P364 12. 设有一半径为R 、中心角为  的圆弧形细棒，其线 密度为常数  。在圆心处有一质量为m 的质点 M ，试求这细棒 对质点 M 的引力。 解 建立极坐标系如图， 圆弧的方程为   d       Rd 2 r  R,   - ,  .   2 2 d M dF 设极角 为积分变量，  o x    则积分区间为   2 , 2  ,        2 ,  上任取小区间 在   2 2  ,  d  , 对应该区间上的一段弧 Rd 对质点 M 的引力 即引力元素 dF , m Rd Gm d dF G  2 R R 其方向由M 指向这段圆弧。 13 设它在水平方向的分量为 dF x ,  2 dF x dF cos  d dF M m  cos  o F G d R   m  cos   F x  2 G d 2  R 2  Gm  2Gm   2  sin    sin  R R 2 2   d  Rd  x 由对称性知在铅直方向的分量 F y  0