高数xt-7

高数xt-7内容摘要：

第七章 空间解析几何与向量代 数 一、向量代数 1 、向量的有关概念与表示法 (1) 向量（自由向量）  (2) 向量的表示 a a x i  a y j  a z k  a x , a y , a z   2 2 2 a  a  a  a (3) 向量的模 x y z (4) 向量的方向角与方向余弦 ay ax a cos    , cos    , cos   z . a a a (5) 投影 Prj u AB | AB | cos  1 2 、向量的运 算 运算 定义 坐标表示 加法 平行四边形（三角形） a  b  a x  b x , a y  b y , a z  bz  减法 三角形 a  b  a x  b x , a y  b y , a z  bz  数乘   a   a . 同向   0  与 a   0 反向 数量积 向量积 a b  a b cos   a b  a b sin  , 方向按右手规则垂直于   a , b所确定的平面。  a  a x , a y , a z  a b  a x b x  a y b y  a z bz i j k a b  a x ay az bx by bz 2 3 、向量间的关系 (1) 夹角 (2) cos  a b ab a  b  a b 0  a x b x  a y b y  a z bz 0 a x a y az   a // b  a b 0  (3) b x b y bz 二、空间解析几何 1 、空间直角坐标系 (1) 构成 (2) 点的坐标 (3) 两点间坐标公式 d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 (4) 定比分点坐标公式 x  x 1  x 2 y 1  y 2 z 1  z 2 ,y ,z  1 1 1 3 2 、曲面 (1) 曲面的方程 F  x , y , z  0 2 2 (2) 球面 (3) 旋转曲面 f  y , z  0绕z轴 (4) 锥面  2 x0    y  y0    z  z0   R 2 x  z 2 a 2 x 2  y 2   f  x 2  y 2 , z 0  (5) 柱面（母线平行于坐标轴的柱面） F  x, y   0 （母线平行于 z 轴）。 (6) 二次曲面（椭球面、抛物面、 双曲面） 4 3 、曲线 F  x , y , z  0, (1) 一般方程 C :  G  x , y , z  0.  x  x t   (2) 参数方程  y  y t   z z t   (3) 关于 xoy 平面上的 投影柱面 :H  x , y  0  H  x , y  0 在 xoy 平面上的 投影：  z 0 4 、平面的方程 (1) 点法式方程 A x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0 Ax  By  Cz  D 0 x y z (3) 截距式方程   1 a b c （ 4 ）特殊平面的方程的特征： A=0 ？ B=0?C=0?D=0? (2) 一般方程 5 5 、直线的方程 (1) 一般方程  A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 x  x0 y  y0 z  z0   (2) 对称式方程 m n p (3) 参数方程  x  x 0  mt   y  y 0  nt  z  z  pt 0  (4) 平面束方程 A1 x  B1 y  C 1 z  D1    A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 6 6 、直线与平面的关系 (1) 夹角 : 转化为向量的夹角 两平面间的夹角： cos   n1 n2  n1 n2   s1 s 2 两直线间的夹角： cos     s1 s 2 直线与平面间的夹角： sin   A1 A2  B1 B 2  C 1 C 2 A12  B12  C 12  A22  B 22  C 22 m 1 m 2  n1 n 2  p1 p 2 m 12  n12  p12  m 22  n22  p 22 Am  Bn  Cp A2  B 2  C 2  m 2  n2  p 2 (2) 平行与垂直 :转化为向量之间的关系 (3) 点到平面的距离 d  Ax 0  By 0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 7 如图所示四边形 ABCD 的两条对角线互相平分  AD  AE  ED BC  BE  EC 由已知 AE  EC , BE  ED . D P380 2 、证 C E A B 即 ABCD 是平行四边形 .  AD  BC , 即 AD // BC , AD  BC 。 P403 8 、证 设 AB 是圆 O 的直径，半径为 C 是圆上一点 r, BC  BO  OC  AC  AO  OC C  AC BC ( AO  OC ) ( BO  OC )  AO BO  AO OC  OC BO  OC OC A O r B   r 2  OC ( AO  BO )  r 2  0 8 P403 12 、   证 设向量 a {a 1 , a 2 , a 3 }, b {b1 , b2 , b3 }       由于 a b  a b cos  ,  a b  a b .   即 | a 1 b1  a 2 b2  a 3 b3 | a 12  a 22  a 32  b12  b22  b32  当 | cos |1时，等号成立，这时 a // b . a3 a1 a2 即：当   时，等号成立 b1 b2 b3 9 P440 5 、 解 OM OA  OB  OC C M OM OA OA OA  OB OA  OC OA O B OA OA 1 A PrjOA OM  OM cos   OA OM cos  OA OM Prj OM 1 3 OA  OA cos  cos     3 3 OA OM OA OM 1 10 P440 7 、        解  a  3 , b 1, (a , b )  ,  a b  3 . 6 2     2 2 a  b  a  b  a  b 2,          2   2 a  b  a  b  a  b  a  2a b  b  7 ,          2   2 a  b  a  b  a  b  a  2a b  b 1,      a  b a  cos      a  b a      b 2   b 7  11 P440 8 、     解 a  3b  7a  5b 0,         a  4b  7a  2b 0 .   7 a 2  16a b  15 b 2 0    2 2    7 a  30a b  8 b 0 2 2    a  b 2a b       a b a b 1 cos(a , b )      2  , 2 a b a      (a , b )  . 3 12 P440 9 、      a b 1  2z  f (z) 解 设 : cos a , b     2 a b 3 2  z  4 z f '(z)  0 2 3 3 (2  z )   z  4是f ( z )的极大值点,    z  4时， (a , b )最小，最小值为 4 P440 10 、             解 a  2b  a  3b a a  3a b  2b a  6b b     以a、b 为邻边的平行  5a b 四边形的面积为：     S  a  2b  a  3b     S  a b sin   a b    5 a b 5 4 3 sin 30. 13 6         P440 11 、        解  r  a , r  b , 设 r  a b ,    a {2, 3,1}, b {1, 2,3}, c { 2,1,2}.    i j k      a b  2  3 1  7 i  5 j  k   7, 5, 1 1  2 3    r    7,5,1        r c Prj c r  r cos  r , c   r    r c   r c   14  5  2     14 c 3     2. r {14,10,2}.  14 P440 12 、    分析 : 要证a、b 、c 共面,          由于a b  a , a b  b ,