高数7-7,8

高数7-7,8内容摘要：

第七节 平面及其方程 一 . 平面的点法式方程 z 如果一非零向量垂直于一平面，  n 这向量叫做该平面的法向量 。 M 0  x0 , y0 , z0  求过点  n  A , B , C  的平面  的方程。 M  x , y , z  是平面上任一点，则 设 M 0 M  x  x 0 , y  y 0 , z  z 0    n  M0M, 得 M0  且法向量为  M  x O y   nM 0 M 0. A x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0 -------- 平面的点法式方程。 1 例 1 求过点（ 2 ， -3 ， 0 ）且以 n ={1 ， -2 ， 3} 为法向量 的平面 的方程。 解 由平面的点法式方程得所求平面的方程为  x  2  2 y  3  3 z 0 即 x  2 y  3z  8 0 例 2 求过三点 M 1  2, 1,4、 M 2   1,3, 2  和 M 3  0,2,3 的平面 的方程。 解 M 1 M 2   3,4,6 , M 1 M 3   2,3, 1 . i j M1  k  M2  M3  n  M 1 M 2 M 1 M 3   3 4  6 14i  9 j  k  2 3 1 由平面的点法式方程得所求平面的方程为 14 x  2   9 y  1   z  4 0 即 14 x  9 y  z  15 0 2 二 . 平面的一般方程 三元一次方程 Ax  By  Cz  D  0 （ A 、 B 、 C 不全为零） （ 1 ） 叫做平面的一般方程。 （1） 任何平面的方程都可以化成三元一次方程（ 1 ）的形式。 （2） 任何一个三元一次方程（ 1 ）都表示一个平面。这时法向量  n  A, B , C  3 Ax  By  Cz  D  0 （ A 、 B 、 C 不全为零） （ 1 ） z n  A , B , C  特殊的三元一次方程的图形的特点：  （ 1 ）当D  0 时，平面过原点。 （ 2 ）当C  0 时，平面平行于 z 轴 or （如图所示 ） 。 A=0?orB=0? D , （ 3 ）当 A B  0 时， z   C 平面平行于 xOy 平面 （如图所示 ）。 B=C=0? n O x z O （ 4 ）当 A  B  D 0 时，方程化为 z  0 , 表示 xOy平面。 x y  n y 4 例3 求通过 x 轴和点  4 , 3 , 1 的平面的方程。 解 设所求平面方程为 Ax  By  Cz  D  0 因为平面通过 x 轴， 所以 A  0 且 D  0 , z 设所求方程为 O By  Cz  0 又因平面过点  4 , 3 , 1 , 所以有  3 B  C 0 y x 取 B 1 , 则 C   3 , 故所求平面的方程为 y  3 z 0 5 例 4. 设一平面与 x 、 y 、 z 轴的交点依次为 P  a ,0,0 、Q  0 , b ,0 、 a 0, b 0, c 0).  R 0 ,0 , c三点，求这平面的方程 . （其中 解 设所求平面的方程为 Ax  By  Cz  D  0 z R 0 ,0 , c  根据已知条件得  aA  D  0  bB  D  0 x cC  D  0  1 1 1 则 A  , B  ,C  取 D 1 , a b c x y z   1 故所求平面的方程为： a b c 这种方程叫做平面的截距式方程 。 O Q  0 , b ,0  y P  a ,0,0  6 三. 两平面的夹角 cos     cos  两平面的法线向量的夹角就是 两平面的夹角（通常指锐角）。 设两平面  1 和 2  n2 n1 2 的法向量为 n1  A1 , B1 , C 1  ，n2  A2 , B2 , C 2   1 n1  则两平面夹角  的余弦为 cos   nn11 nn22 n1 n2  AA11AA22 BB11BB22 CC11CC22 A12  B12  C 12  A22  B22  C 22 7 两平面平行和垂直的充要条件：  1  2  n1 n2  0  A1 A2  B1 B2  C 1C 2 0 A1 B1 C1     1 //  2 A2 B2 C 2 A B C D  1  2  1  1  1  1 A2 B2 C2 D2   n1 n 2 0 例 5 求两平面 x  y  2 z  6  0和 2 x  y  z  5 0 的夹角。 1 2    1 1  2 1 1 解 cos    2 1 2    1  2 2  2 2  1 2  1 2 2  因此，所求夹角   . 3 8 例 6 一平面过两点M 1  1 ,1 ,1 和 M 2  0 ,1, 1 , 且垂直于平面 x  y  z  0 , 求它的方程。 解 设所求平面的一个法向量为：  n 平面 x  y  z  0 的法向量为 n1  1,1,1 . 则   n  n1 M 1、M 2 是所求平面内的两点，则 n  M 1 M 2。 j k n  M 1 M 2 n1   1 0  2 2i  j  k . 1 1 1  i 由平面的点法式方程得所求平面的方程为 2 x  1   y  1   z  1  0 即 2 x  y  z 0 9 四 . 点到平面的距离 求点 P0  x 0 , y 0 , z 0  到平面 Ax  By  Cz  D 0 的距离 d . 在平面上任取一点 P1  x 1 , y 1 , z 1 , n P 0 平面法向量为 n , 则 OP0为 P P 在 n 1 0 上的投影 . d  OP0  Prj n P1 P0 0 n 是与 n 设 P1 0 Prj n P1 P0 P1 P0 n  P1 P0 n cos  有 而 同方向的单位向量， O 0  A B C n  , , 2 2 2 2 2 2  A  B  C A  B C A2  B 2  C 2 0    P1 P0  x 0  x 1 , y 0  y1 , z 0  z 1  10 所以 A x 0  x 1  Prj n P1 P0    2 2 A  B C 2  B y 0  y1  2 2 A  B C 2  C  z 0  z1  A2  B 2  C 2 Ax 0  By 0  Cz 0   Ax 1  By 1  Cz 1  A2  B 2  C 2 Ax 0  By 0  Cz 0  D 点 由此得 A2  B 2  C 2 P0  x 0 , y 0 , z 0  Ax 1  By 1  Cz 1  D 0 Ax  By  Cz  D 0 到平面 的距离公式： d Ax 0  By 0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 11 1）到平面 x  y  z  1  0 的距离。 例 7求点（2 ，1 ， 解 利用上述公式可得 d 1 2  1 2  1 1  1 1  1    1 2 2 2  3 3  3 12 小结： 1. 平面方程的三种常见形式 作业 : 习题 7~7 作业纸 P52-53 A x  x 0   B y  y 0   C  z  z 0  0 x y z 截距式方程   1 a b c 一般方程 Ax  By  Cz  D  0 点法式方程 2. 两平面的夹角 cos   n1 n 2 n1 n2  A1 A2  B1 B 2  C 1 C 2 A12  B12  C 12  A22  B 22  C 22 3. 两平面平行、垂直、和重合的条件 4. 点到平面的距离 d  Ax 0  By 0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 13 第八节 空间直线及其方程 一．空间直线的方程 z 1 ．一般方程 空间直线 L可以看作是两个平面 1  1 和  2的交线， 因此直线 L的方程 L 可以表示为： 2  A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 O y x 这种方程叫做空间直线的一般方程。 14 2 ．对称式方程（点向式方程） 如果一个非零向量平行于一条直线， 这个向量叫做直线的方向向量。 z  M0  , 方向向量为 求过点 M（ 0 x 0 , y 0 , z 0） s  m，n，p 的直线 L 方程． 设点 M（x , y , z）是直线 L 上任一点， x s o L M y 则 M 0 M  x  x 0 , y  y 0 , z  z 0  . 由 M M // s 得 : 0 x  x0 y  y0 z  z0   m n p 这个方程叫做直线的对称式方程或点向式方程 ; m , n , p 叫做直线的一组方向数 ; 向量 s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦。 15 说明： （ 1 ）若 m , n, p中有一个为 0 , 例如 m  0 , 这时方程组应理解为  x  x 0 0 y y z  z0