高数7-5,6

高数7-5,6内容摘要：

第五节 曲面及其方程 一 . 曲面方程的概 念 平面曲线、 空间曲面是点的几何轨迹。 曲面 S 与三元方程 F  x , y , z  0 有下述关系： z F  x , y , z  0 S y (1) x (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 (1); O （纯粹性） (2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 (1),（完备性） 则方程 (1) 就叫做曲面 S 的方程 , 而曲面 S 就叫做方程 (1) 的图形。 1 在空间解析几何中关于曲面的研究 , 有下列两个基本问题 : (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。 1 、球面方程 例 1 建立球心在 M 0  x 0 , y 0 , z 0  , 半径为 R 的球面 S 的方程 . z M  x , y , z  解：M  x , y , z   S  M 0 M  R 2 R 2 M 0  x 0 , y 0 , z 0  2  M 0 M   x  x0    y  y0    z  z0  ,  x  2 2 2 x 0    y  y 0    z  z 0   R, o y x 或  x  x0  2   y  y0  2   z  z0  2  R 2 （2） 2 知 方程 (2) 就是以 M 0  x 0 , y 0 , z 0 球心 若球心在原点，则 半径为 , R 的球面方程 . x 0  y 0  z 0 0, 从而球面的方程为 x 2  y 2  z 2 R 2 . 例2 (3) A1,2,3 , B  2, 1,4 , 求线段 AB 的垂直平分面的 解 设 M ( x , y , z )是垂直平分面上任意一 点 ：  MA  MB ,  x  1  2 2   y  2   z  3 A  2  M   x  2 2   y  2 2   z  4 2  2 x  6 y  2 z  7 0. B  为所求平面上的点的坐标所满足的方程。 3 表示怎样的曲面 2 2 2 x  y  z  2 x  4 y  0 例 3 方程 解: 配方得 ?  x  1 2 2   y  2   z 2 5. 原方程表示球心在点 M 0 1 , 2 ,半径为 0 , 一般地，设有三元二次方程 R 5 的球面 . Ax 2  Ay 2  Az 2  Dx  Ey  Fz  G 0 通过配方可以化成（ 2 ）的形式， 那么它的图形就是一个球面。 4 二 . 旋转曲面 —— 通常多考虑以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 . 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面 叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴 . z 设 C : f  y , z  0  yoz , M  x , y , z   S , 过 M 点做 z 轴的垂面，与 z 轴交于 P （ 0,0,z ） P M 1  0 , y1 , z  点，交曲线 C 于 M1 （ 0, y1 , z ） , 显然 M  （ x,y,z) C PM  PM 1 2 o 2  PM  x  y , PM 1  y1 , y x  y1  x 2  y 2 . 因为， M1 在曲线 C 上，其坐标应满足  f  y , z  0 即： f  x 2  y 2 , 就是所求旋转曲面的方程。 z  0 (4) 5 设 C : f  y , z  0  yoz面 绕 z轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程为 设 C : f  x , y  0  xoy 绕 x轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程为  f  y ,   0 f  x 2  y 2 , z 0  f  x2  z2  , y  0 f x ,  y 2  z 2 0 x2  z2 设 C : f  x , z  0  zox 绕 x轴旋转所成的旋转曲面的方程为 绕 z轴旋转所成的旋转曲面的方程为  f   , z  0 f x ,  y 2  z 2 0 x2  y2 6 例4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 , 所得旋转 曲 面叫圆锥面， 两直线的交点叫做圆锥面的顶点， 两直线的夹角     0     叫做圆锥面的半顶角。试建立顶点在坐标原点 O, 2  旋转轴为 z 轴 , 半顶角为 z 的圆锥面的方程 . 解 : 在yOz坐标面上， L : z  y tan  P 让 L 绕 z 轴旋转 2 2  z  x  y cot  o 或    a cot   z 2 a 2 x 2  y 2 , x  M  0, y , z  1 1 1  M  x, y, z  L y (7) 这就是圆锥面的方程。 7 例5 将 z xoz面上的双曲线 y x x2 z2 O  2 1 , 2 a c 轴一周 , 求所生成的旋转曲面的方程 z 分别绕 x 轴和 . 2 2 2 x y  z 解： 绕x轴 :  1. 2 2 a c z x2  y2 z2 绕 z轴 :  2 1. 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面 . z y y O x O x 8 三 . 柱面 方程 x 2  y2 R2 解：在 xOy面： 表示怎样的曲面 ? x2  y2 R2 z 圆 在三维空间直角坐标系中  这曲面可以看作是由平行于 z 轴  l R  O  M 的直线 l沿 xOy面上的圆 x 2  y 2  R 2 x y 平行移动而成 ,这曲面叫做圆柱面 . xOy面上的圆 x 2  y 2  R 2 叫做它的准线， 平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线 : y  R, 绕 z 轴旋转而成的旋转 曲面就是该圆柱面 , 则圆柱面方程为 : x 2  y 2 R 2 .  x 2  y 2  R. 即 P11 9 定义 : 平行于定直线并沿定曲线 C 平行移动的直线 l形成的轨迹 叫做柱面， 动直线叫做柱面的母线。 定曲线 C 叫做柱面的准线， z y O y 2 2 x z y o x y 2  2 x 表示母线平行于 z 轴 ,准线是 xOy面上的抛物线 y 2  2 x 的抛物柱面。 x x  y 0 x  y  0 表示母线平行于 z轴 , 准线是 xOy面上的直线 x  y  0 过 Z 轴的平面。 10 z 方程 F  x , y   0 , 在空间 直角坐标系中表示： 母线平行于 z 轴的柱面 , 其准线是 xOy 面上的曲线 o x C : F  x , y  0. F  x , y  0 , y C 方程中缺哪个字母，母线 方程 G  x , z   0 , 在空间 平行于相应的轴。 直角坐标系中表示： 面上的曲线 y 母线平行于 轴的柱面 , 其准线是 xOz C : G  x , z  0. 方程 H  y , z  0 , 在空间直角坐标系中表示： 母线平行于 x 轴的柱面 , 其准线是 yOz面上的曲线 C : H  y , z  0 . P9 11 方程 x  z  0 , 在空间直角坐标系中表示： 母线平行于 y轴的柱面 , 面上的曲 ( 直 ) 线 其准线是 xOz : C : x  z 0. z x  z 0 o x y 12 小 结： 1. 曲面的概念 2. 球面方程 x  2 2 2 x0    y  y0    z  z0   R 2 作业 : 习题 7-5 作业纸 P50 2 x 2  yP49-5 , z  0 绕 z轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f  下次交 0 f  y ,  x 2  z 2  0 绕 y轴旋转所成的旋转曲面的方程为 3. 平面方程 Ax  By  Cz  D  0 4. 旋转曲面 设 C : f  y , z  0  yoz面   2 2 2 2 z  a x  y , 5. 锥面的方程  a cot   6. 柱面方程 方程 H  y , z   0 , 在空间直角坐标系中表示：母线平行于 x轴的柱面 , 其准线是 yOz面上的曲线 C : H  y , z  0. 13 第六节 空间曲线及其方程 z 一 . 空间曲线的一般式方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线 . S1 C S2 S 1 : F  x , y , z  0, S 2 : G  x , y , z  0.  F  x , y , z  0, C : G  x , y , z  0. O (1) y x 方程组 (1) 叫做空间曲线 C 的一般方程 . 14 例1  x 2  y 2 1 表示怎样的曲线 ? 方程组 C :  2 x  3 z 6 2 z 2 解：S 1 : x  y 1 表示母线平行于 z 轴的圆柱面 , 其准线是 xOy面上的圆 ,圆心 C 在原点 , 半径为 1. S 2 : 2 x  3 z 6 o 表示母线平行于 y 轴的柱面 , 其准线是 xOz 面上的直线， 它是一平面 . y x 所以曲线 C 是圆柱面与平面的交线。 15 例2 z 方程组  z  a2  x2  y2  2 2  a a 2  x    y    2  2  o 表示怎样的曲线？ 解：方程组中第一个方程表示球心 在坐标原点，半径为 a 的上半球面；