高数xt-5

高数xt-5内容摘要：

第五章 定 积 分 一．主要内容 1. 定积分的概念 : 分割、作乘积、求和、取极限。 b b b f  x dx  f  t dt  f  u du 2.  a a a 3. 定积分存在的充分条件 f  x  在  a, b 上连续 ; 或 f  x  在  a, b 上有界且只有有限 个间断点。 4. 定积分的几何意义 : 5. 定积分的性质 : 设函数 f  x 、g  x  在  a, b 上可积，则 a 1 a f  x dx 0 b a  2 a f  x dx  b f  x dx b b b  3 a  f  x  g  x dx a f  x dx a g  x dx 1 a a  4 b kf  x dx k b f  x dx b c b  5 a f  x dx a f  x dx  c f  x dx b  6 a dx b  a b b  7 若f  x   g  x , x   a , b , 则 f  x dx  g  x dx . a a  8x   a , b , M max f  x , m min f  x , b m  b  a    f  x dx  M  b  a  a  9定积分中值定理  设 f  x  在  a , b 上连续， b 则      f x dx  f  b  a    a , b , 使得 a (9’) 设 f  x  在 a, b上连续，  g  x 在 a, b上连续，且不变号。 则至少存在一点    a , b , 使下式成立 b b a f  x  g  x dx  f   a g  x dx ( 第一积分中值定理 ). 2 ６．积分上限函数及其导数 x x   a , b   x    f  t dt , a (1)   x  在  a, b 上连续 . d x 导数：(2) '  x    f  t dt  f  x . dx a d a '  x    f  t dt  f  x . dx x d   x '  x    f  t dt  f    x    '  x   f   x   '  x  dx   x  7.Niuton-Leibniz 公式 b b  f  t dt  F  x  a F  x  a n lim  n  i 1 b a F  b   F  a  1 i 1 f      f  x  dx  F 1  F  0  0  n n 3 8. 定积分的计算方法 (1) 基本方法 : 同不定积分 . (2) 特殊函数的积分 i 奇偶函数在对称区间上的积分 a  a  0, f  x dx  a f  x dx 2  0 f  x 为奇函数； f  x 为偶函数 . ii 周期函数的定积分 a T  a T f  x dx  f  x dx 0 T为函数的周期， a  R  4 iii 有关三角函数的积分  2 0  2 0  f sin x dx  f cos x dx   0 xf sin x dx  2 0 f sin x dx   2 0  2 0 I n   sin n xdx   cos n xdx n  1 n     n n   n  1 n   n  n 9. 广义积分 3 3 1      , n为正偶数； 2 4 2 2 3 4 2    , n为大于1的正奇数。 2 5 3 递 推 公 式 (1) 无穷区间上的广义积分。 (2) 无界函数的广义积分。 (3) 广义积分的收敛与发散 . 5 二 . 例题 1. 计算下列极限 : n n! 1  2 n  1 lim  2 lim ln    sin  sin  sin  n  n   n n n n n  x x  3 lim f  t dt 其中 f  x 连续。 a x a x  a  x  4 xlim   2   arctan t dt 0 x2 1 n 解 n! 1 n! n! n  lim ln 1 lim ln  lim ln n  n  n n n n  n n n 1 1 2 n  lim  ln  ln    ln  n  n  n n n 6 1 i 1 lim  ln   ln xdx 0 n  n n i 1 n 1  1 ln xdx    lim x ln x        0   0  lim  lim  0   ln   1       0   lim  ln   1   1   0 广义积分 1   x x dx  1 ln  lim  ln   lim   0   0 1 1   lim    lim   0 1   0   0  2  1  2 n   2 lim  sin  sin    sin  n  n  n n n  1 1 2 i 1 1 lim  sin    sin xdx    cos x  0  n  0 n n i 1   n  7 x x  3 lim f  t dt 其中f  x 连续。 a x a x  a   x x x  a  a x lim f  t dt lim f  t dt   a x a x  a a x a x a x x lim  x a a f  t dt  f  t dt  a lim a x a x a f  x a lim af  a  x a 1 x  4 xlim   2   arctan t dt 0 x2 1  arctan x   lim x   x 2 2  4 x2 1 8 b  x  a  b  x dx  b  a  2 ．用定积分的几何意义求 a 解  x  a  b  x   a  b  2 y a  b 4  x 2   a  b  x  ab a b   x  2   4 2 的值。 2 a b   x  2    a a b 2 2 b  a b a  b  2 x  y  2  4  2 2  a b  b a , 0   ， 半径为 表示圆心为 的上半圆。 2   2 b  a 2 1  b  a   b  a  2  x  a  b  x dx     2  2  8 9 3. 计算下列定积分  4 0  2 0  2 0  2 0 1  ln1  tan x dx;  3  1  sin 2 x dx; 3  5  max x , x 4 解 2 dx a x  a2  x2 dx  4  1  cos 2 x , x 3 dx  4 0 1  ln1  tan x dx  x ln1  tan x   ln 2   4 ;  4 0  4 0 x   sec 2 xdx 1  tan x  4 0 x  cos 2 x  sin x cos x dx 10  4 0  4 0  sin x  cos x sin x   4 1  ln1  tan x dx  ln 1  ln dx dx   0 cos x cos x     2 sin x     4  04 ln dx cos x   x   u 4 2      4 ln 2dx  4 ln sin x   dx  4 ln cos xdx 0 0 0 4     令： x   u, dx  du, x 0  u  ; x   u 0. 4 4 4  0    4 ln sin x   u     du   dx   ln sin 0 4 4  4 4 0  4 0    ln cos ud u   ln cos udu 4  4 0  ln 2   ln1  tan x dx  . 8 11 dx a   . 2 2 4 x a  x   t   0,  , 令x a sin t ,  2  2 0 则 dx a cos tdt ,  x 0  t 0 ; x a  t  . 2   a dx a cos tdt cos t 2 2    dt 0 0 0 sin t  cos t a sin t  a cos t x  a2  x2    cos t sin t sin t 2 2 2  dt  dt  dt 0 0 0 sin t  cos t 1  cos 2 t  cos t 1  si