高数xt-4

高数xt-4内容摘要：

锲而不舍 永不言败 用勤奋洗涤哀怨和叹息； 用勤奋抹掉伤感和忧愁； 用勤奋剔除骄奢和娇柔； 用勤奋删改呆板和僵化； 用勤奋冶炼执著和刚强； 用勤奋铸造胜利和辉煌； 无论关口多难，只要勤奋， 就能到达胜利的顶峰！ 1 第四章 不定积分 一．要求 1. 掌握不定积分的概念与性质，熟记基本积分表。 2. 掌握不定积分的换元积分法、分部积分法、有理函数的积分 三角函数有理式的积分、简单无理函数的积分。 二 . 积分思路—分级考虑 积分基本公式、积分的性质 第一类换元积分法（凑微分） 第二类换元积分法 分部积分法 有理函数 三角函数有理式 2 三．例题 1   求  1  2  x x dx 例1 x   7 1 5     43 4 1   解  x  x 4  dx  x 4  4 x 4  C 1  x x dx     x 2    7   例2 2 x 1  5 x  1  10 x dx 求 2 x 1 5 10 x x 1 x  1 dx  2   dx  解   5 x x 1  1 2 1       C 5 ln 2  2  ln 5  5  x 1 1 5  2  dx 3 例3 求  1  cos x dx sin x x x cos 2 cos 1  cos x 2 2 2 dx dx   sin x  x x  2  x x dx 2 sin cos sin cos x 2 2 2 2 当 cos  0 时， 2 2 解  1  cos x 2 dx  sin x 2  1 dx  2 ln csc x x  cot  C 2 2 x sin 2 x x 2 x 2 x csc cot csc  1  cot , 此时 与 同号，且 2 2 2 2 x x x x x x 即 csc  cot ,  csc  cot  csc  cot , 2 2 2 2 2 2 4 当 cos   x  0 时， 2 x x  x dx   2 ln csc 2  cot 2  C . sin 2 x sin x x 1 2 2 ln csc  cot  2 ln  2 ln x x x 2 2 csc  cot 1  cos 2 2 2 1  cos x 2 dx  sin x 2 1 x x sin  1  cos  x x 2 2  2 ln  2 ln csc  cot 2 2 2 x sin 2 5 x x x x 此时 csc 与 cot 异号， 且 csc 2 1  cot 2 , 2 2 2 2 x x x x x x 即 csc  cot ,  csc  cot  csc  cot , 2 2 2 2 2 2   x x 1  cos x dx 2 ln csc  cot   C 2 2 sin x  x2 例4 求 解 1  x  10 dx 令 1  x t , 则 x 1  t , dx  dt x 2 2 1  x  10 1  t    dt  10 dx   t 6 dx 例5 求  x e  e x 1 dx e x dx 1 ex  1 x  2 x de  ln x 解 x  2 x C x e 1 e  e e 1 2 e 1 tan x  sec x e tan x  sec x e dx 2 例6 求 解 2 x dx x  tan xe x dx  sec 2 xe x dx  tan xe x dx  e x d tan x  tan xe x dx  e x tan x  tan xe x dx e x tan x  C 7 dx 例 7 求 x  x n1 dx x n  1 dx 1 dx n 1  1 1  n 解     n  n  dx n 1   n n n n xx x x 1 n x x 1 n  x x 1       n 1 1 1 1 d x 1 n n  ln x  ln x 1 C   n dx   n n n x n 1 x 例8 3 x2 求 x e dx 1 1 2 x2 2 x2 2 解 x e dx  2 x e dx  2 x de 1 2 x2 1 x2 2 1 x2 2  x e  e d x  e x  1  C 2 2 2 3 x2   8 求 例9 tan x dx cos x 2 tan x sin x 1 C 解  dx   3 dx   3 d cos x  cos x cos x 2 2 cos x cos x xe x dx 例 10 求  x 2 e 1 1 xe x x x dx   d e  1  xd x 解  x 2 2 e 1 e 1 ex 1         x 1 x 1ex  ex  x  x dx  x  x dx e 1 e 1 e 1 e 1 x xe x 1 x x   ln e 1 C  x x  x d e 1 x e 1 e 1 e 1     9 例 11 求 x3 x3 1  x2 dx 2 1 x2 1 x 1  1 2 dx   dx 2   解  dx 2 2 2 2 1 x 2 1 x 1 x 3 1   1  1 2 2 2 2 2  1  x  1  x C    1  x  d 1  x  3 2  1  x2  1  ln 1   x  dx 例 12 求 x  x  1 1 1   1  ln 1   ln 1   ln 1   1 x 1 x  x     2 dx   d1   dx   解  1 x 1  x   x  x  1 1   1   x x   1 1   1 ln 2  1  1   C      ln 1   d ln 1   2 x x x        10 sin x cos x dx 例 13 求  4 4 sin x  cos x sin x cos x 解 sin 4 x  cos 4 x dx sin 2 x  dx 2 2 sin 2 x  cos 2 x  4 sin 2 x cos 2 x   sin 2 x 1 1  dx   d cos 2 x 2 2 2 1  cos 2 x 2  sin 2 x 1  arctan cos 2 x  C 2 11 1  cos x dx 求 2 1  sin x 例 14 1  cos x 1 cos x dx  dx  1  sin 2 x 1  sin 2 x 1  sin 2 x dx 解 1 1  2 dx   d sin x 2 2 cos x  2 sin x 1  sin x sec 2 x  dx  arctan sin x 2 1  2 tan x 1 1  d 2 tan x  arctan sin x  2 2 1  2 tan x   1 2    arctan 2 tan x  arctan sin x  C 12 ln 2 x dx  求 ln 4 x x 例 15 解 ln 2 x dx ln 2 x 1 ln 2 x 1    dx   ln 4 x x ln 2  ln 2 x x ln 2  ln 2 x 2 x d  2 x  ln 2 x  ln 2  ln 2  d  ln 2 x  ln 2  ln 2 x 1  d  ln 2 x   ln 2  ln 22  x ln 2 x  dd ln ln 2  ln 2 x ln 2 x  ln 2 ln ln 2  ln 2 x  C ln 2 x  ln 2 ln ln 4 x  C sin x dx 求 1  sin x 例 16 sin x sin x 1  sin x  解  dx   dx 2 1  sin x 1  sin x     2  tan x sec x  tan 2 x dx tan x sec x  sec x  1 dx sec x  tan x  x  C 13 x  sin x  ln 1  cos x  C 2 dx 例 17 求  1  cos x x  sin x x sin x dx   dx   dx 解  1  cos x 1  cos x 1  cos x x x 1  cos x  2  x csc xdx  x cot x csc xdx dx  dx  1  cos x  sin 2 x  xd cot x  xd csc x  x csc x  csc xdx  x cot x  cot xdx  x  csc x  cot x   ln csc x  cot x  ln sin x  C 1 sin 2 x  x  csc x  cot x   ln  C1 1  cos x  x  csc x  cot x   ln 1  cos x  C 1 x  sin x 1  cos x dx  x csc x 