高数XT-2内容摘要:
第二章 导数与微分 左、右导数 导数的定义 导数存在的充要条件 几何意义 定义 导 数 四则运算 基本初等函数求导公式 求导方法 导 数 与 微 分 复合函数求导 隐函数求导 参数方程求导 高阶导数 定义 微 分 微分公式 微分的应用 常见的导数公式 * 怎样求分段函数的导数; 怎样讨论分段函数的连续性 1 导数 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y f ' ( x 0 ) lim lim x 0 x x 0 x 左导数 : f ' ( x 0 ) lim 右导数 : 微分 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim x 0 x x 0 x f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y f ' ( x 0 ) lim lim x 0 x x 0 x 函数 y f ( x ) 在点 x 0可微 y Ax o( x ) 且 dy Ax f x 0 dx 2 例题 f 3 h f 3 x 3 处的导数存在,求 lim 例 1 已知f x 在 h 0 2h f 3 h f 3 1 f 3 h f 3 1 lim 解 lim f 3 h 0 2h 2 h 0 h 2 例 2 设有一细棒,取棒的一端作为原点,棒上任一点的坐标为 x , 于是分布在区间 0, x 上细棒的质量 m是 x的函数 m m x . 应 怎样确定细棒在点 x 0 处的密度(对于均匀细棒来说,单位长度 细棒的质量叫做这细棒的线密度)。 解 在 x 0处给自变量一增量 x , O x 0 x 0 x x m x 0 x m x 0 在区间 x 0 , x 0 x 上棒的平均密度为 x m x 0 x m x 0 x 0 lim x 0 x 3 例 3 求下列函数 f x 的 f 0 及右导数 f 0 , 又 f 0是否存在? (1) x 0, sin x , f x ln1 x , x 0; x , x 0, 1 ( 2 ) f x 1 e x x 0. 0, 解 ( 1 )f 0 lim f h f 0 lim sinh 0 1 h 0 h 0 h h f 0 lim h 0 f h f 0 ln1 h 0 lim 1 h 0 h h f 0 f 0, 所以 f 0 存在,且 f 0 1. 4 x 1 x 0 1 f x f 0 1 e lim 1 lim 1 x 0 x 0 x 0 x x x 1 e x 0 1 x 1 f x f 0 1 e lim 0 f 0 lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1ex f 0 f 0, 所以 f 0不存在。 ( 2 )f 0 lim 5 2 3 例 4 函数 f x x x 2 x x有几个不可导的点? 解 f x x 1 x 2 x x 1 x 1 可能出现不可导的点为 x 1, x 0, x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 0 f x f 1 f 1 lim lim 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 0 f x f 1 f 1 lim lim 4 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 x 1 x 2 x x 1 x 1 0 f x f 1 f 1 lim lim 4 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 f 1不存在 同理,f 0 也不存在。 因此,函数有两个不可导的点。 6 x , x0 e f ( x ) 例5 设 ,确定a , b, 使f ( x )在 x 0 a bx, x 0 处连续并且可微 . 解 因为 lim f ( x ) lim (a bx ) a , lim f ( x ) lim e x 1 x 0 x 0 x 0 x 0 欲使 f ( x )在 x=0 处连续,必须lim f ( x ) lim f ( x ),所以 a 1 x 0 x 0 f ( x ) f ( 0) (1 bx ) 1 lim lim b 又因为 x 0 x 0 x 0 x f ( x ) f ( 0) ex 1 lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x f ( x ) f ( 0) f ( x ) f ( 0) lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 所以 b=1 . 7 1 K x sin , x 0 x 例 6 设 f ( x ) , K 是实数 . 问: 0 , x 0 f ( x ) 在 x 0 处不可导; ( 1 )当 K 为何值时, f ( x )在 x 0 处可导,但导函数不连续; ( 2 )当 K 为何值时, f ( x )在 x 0处导函数连续。 ( 3 )当 K 为何值时, 1 ( x ) K sin f ( 0 x ) f ( 0) f ( x ) f ( 0) x 解 lim lim lim x 0 0 x 0 x x x lim ( x ) x 0 即 K1 1 不存在 ,当 K 1 sin x 0 , 当K 1 不存在, K 1 f (0) K 1 0 , 8 当 K 1 时 , f ( x ) 的导函数为: 1 1 K1 K 2 cos , x 0 Kx sin x f ( x ) x x 0 , x 0 1 1 K1 K 2 lim f ( x ) lim Kx sin x cos f (0) 0 为使 x 0 x 0 x x 则取 K 2即可 . 因此,函数 1 K x sin , x 0 f ( x ) x 0 , x 0 f ( x ) 在 x 0 处不可导; ( 1 )当 K≤1 时, f ( x )在 x 0 处可导,但导函数不连续; ( 2 )当 1<K ≤2 时, ( 3 )当 K>2 时, f ( x )在 x 0处导函数连续。 9 例 7 求下列函数的导数 x (1) y ln tan cos x ln tan x; ( 2) y x x ; 2 2x e sin 2 x cos 2 x 4 y arctan e x ln 2 x ; 3 y ; e 1 1 cot x 1 tan x 5 y x x 解 x xx 6 y (a x )(b x ) (a b 0). (a x )(b x ) x ; x (1) y ln tan cos x ln tan x 2 1 x 1 tan x tan sin x ln tan x cos x x 2 tan x tan 2 1 2 x sec 2 sec x 2 2 sin x ln tan x cos x sin x ln tan x x tan x tan 10 2 ( 2) y x x 由对数求导法,得 1 2 1 1 1 x x x y x ln x x 2 ln x 2 x 1 ln x x x x sin 2 x cos 2 x 3 y 先化简,再求导! 1 cot x 1 tan x sin 3 x cos 3 x sin 3 x cos 3 x 1 y 1 sin 2 x sin x cos x cos x sin x sin x cos x 2 y cos 2 x . e2x 4 y arctan e ln 2 x ; 先利用对数的性质,再求导! e 1 1 1 x 2x 2x x y arctan e [ln e ln( e 1)] arctan e x ln(e 2 x 1) 2 2 ex 1 2e 2 x ex 1 y 1 2x 2x 2x 2 e 1 e 1 1e x 11 5 y x x x xx x ; xx x x xx y ( x x x )( x ) ( x ) ( x ) 设 u x x , 则 u x x x ln x x x ln x 1, xx x 设 v x , 则 ln v x ln x x x 1 xx v v ( x )ln x x x [ x x (ln x 1) ln x x x 1 ] x 故 x y 1