高数XT-2

高数XT-2内容摘要：

第二章 导数与微分 左、右导数 导数的定义 导数存在的充要条件 几何意义 定义 导 数 四则运算 基本初等函数求导公式 求导方法 导 数 与 微 分 复合函数求导 隐函数求导 参数方程求导 高阶导数 定义 微 分 微分公式 微分的应用 常见的导数公式 * 怎样求分段函数的导数； 怎样讨论分段函数的连续性 1 导数 f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y f ' ( x 0 )  lim  lim x  0 x x  0 x 左导数 : f '  ( x 0 )  lim 右导数 : 微分 f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y  lim x  0  x x  0 x f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y f '  ( x 0 )  lim  lim x  0  x x  0 x 函数 y  f ( x ) 在点 x 0可微  y  Ax  o( x ) 且 dy  Ax  f  x 0 dx 2 例题 f  3  h  f  3  x  3 处的导数存在，求 lim 例 1 已知f  x  在 h 0 2h f  3  h  f  3  1 f  3  h  f  3  1  lim 解 lim  f  3  h 0 2h 2 h 0 h 2 例 2 设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任一点的坐标为 x , 于是分布在区间  0, x  上细棒的质量 m是 x的函数 m m  x . 应 怎样确定细棒在点 x 0 处的密度（对于均匀细棒来说，单位长度 细棒的质量叫做这细棒的线密度）。 解 在 x 0处给自变量一增量 x , O x 0 x 0  x x m  x 0  x   m  x 0  在区间  x 0 , x 0  x 上棒的平均密度为   x m  x 0  x   m  x 0    x 0   lim x  0 x 3 例 3 求下列函数 f  x 的 f  0  及右导数 f  0 , 又 f  0是否存在？ （1） x  0, sin x , f  x   ln1  x , x 0;  x , x  0, 1  （ 2 ） f  x  1  e x  x 0. 0, 解 （ 1 ）f  0  lim f  h  f  0  lim sinh  0 1  h 0  h 0  h h f  0  lim h 0 f  h  f  0  ln1  h  0  lim 1 h 0 h h f  0  f  0, 所以 f  0  存在，且 f  0  1. 4 x 1 x 0 1 f  x   f  0 1  e  lim 1  lim 1 x 0 x 0 x 0 x x x 1  e x 0 1 x 1 f  x   f  0 1  e  lim 0 f  0   lim  lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1ex f  0  f  0, 所以 f  0不存在。 （ 2 ）f  0   lim 5   2 3 例 4 函数 f  x   x  x  2 x  x有几个不可导的点？ 解 f  x   x  1 x  2 x  x  1 x  1 可能出现不可导的点为 x  1, x 0, x 1  x  1 x  2 x x  1 x  1  0 f  x   f   1 f   1  lim  lim 0 x  1 x   1 x    1 x 1  x  1 x  2 x x  1 x  1  0 f  x   f 1 f 1  lim  lim 4 x  1 0 x  1 0 x 1 x 1  x  1 x  2 x x  1 x  1  0 f  x   f 1 f 1  lim  lim  4 x  1 0 x  1  0 x 1 x 1 f 1不存在 同理，f  0 也不存在。 因此，函数有两个不可导的点。 6 x , x0 e f ( x )   例5 设 ，确定a , b, 使f ( x )在 x 0 a  bx, x 0 处连续并且可微 . 解 因为 lim f ( x ) lim (a  bx ) a , lim f ( x )  lim e x 1  x 0   x 0 x 0 x 0 欲使 f ( x )在 x=0 处连续，必须lim f ( x ) lim f ( x ),所以 a 1 x 0 x 0 f ( x )  f ( 0) (1  bx )  1 lim  lim b 又因为 x 0 x 0 x 0 x f ( x )  f ( 0) ex  1 lim  lim 1 x 0 x 0 x 0 x f ( x )  f ( 0) f ( x )  f ( 0) lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 所以 b=1 . 7 1  K  x sin , x 0 x 例 6 设 f ( x )  , K 是实数 . 问： 0 , x 0 f ( x ) 在 x 0 处不可导； （ 1 ）当 K 为何值时， f ( x )在 x 0 处可导，但导函数不连续； （ 2 ）当 K 为何值时， f ( x )在 x 0处导函数连续。 （ 3 ）当 K 为何值时， 1 ( x ) K sin f ( 0  x )  f ( 0) f ( x )  f ( 0) x 解 lim  lim  lim x  0  0 x  0 x x x  lim ( x ) x  0 即 K1 1 不存在 ，当 K 1 sin  x 0 ， 当K  1 不存在， K 1 f (0)  K 1 0 , 8 当 K  1 时 , f ( x ) 的导函数为： 1 1  K1 K 2 cos , x 0  Kx sin  x f ( x )  x x 0 , x 0 1 1  K1 K 2  lim f ( x )  lim Kx  sin  x  cos    f (0) 0 为使 x  0 x 0 x x  则取 K  2即可 . 因此，函数 1  K  x sin , x 0 f ( x )  x 0 , x 0 f ( x ) 在 x 0 处不可导； （ 1 ）当 K≤1 时， f ( x )在 x 0 处可导，但导函数不连续； （ 2 ）当 1<K ≤2 时， （ 3 ）当 K>2 时， f ( x )在 x 0处导函数连续。 9 例 7 求下列函数的导数 x (1) y ln tan  cos x ln tan x; ( 2) y  x x ; 2 2x e sin 2 x cos 2 x  4 y arctan e x  ln 2 x ;  3 y   ; e 1 1  cot x 1  tan x  5 y  x  x 解 x xx  6 y  (a  x )(b  x ) (a  b  0). (a  x )(b  x ) x ;  x   (1) y   ln tan    cos x ln tan x  2   1  x 1   tan x    tan   sin x ln tan x  cos x  x  2 tan x tan 2 1 2 x sec 2 sec x 2 2   sin x ln tan x  cos x  sin x ln tan x x tan x tan 10 2 ( 2) y  x x 由对数求导法，得  1 2 1 1 1     x x x y  x  ln x   x   2 ln x  2   x 1  ln x  x   x x  sin 2 x cos 2 x  3 y   先化简，再求导！ 1  cot x 1  tan x sin 3 x cos 3 x sin 3 x  cos 3 x 1 y   1  sin 2 x sin x  cos x cos x  sin x sin x  cos x 2  y   cos 2 x . e2x  4 y arctan e  ln 2 x ; 先利用对数的性质，再求导！ e 1 1 1 x 2x 2x x y arctan e  [ln e  ln( e  1)] arctan e  x  ln(e 2 x  1) 2 2 ex 1 2e 2 x ex  1 y   1   2x  2x 2x 2 e 1 e 1 1e x 11  5 y  x  x x xx x ; xx x x xx y  ( x  x  x )( x )  ( x )  ( x )  设 u  x x , 则 u  x x  x ln x   x x  ln x  1, xx x 设 v  x , 则 ln v  x ln x  x x 1 xx v  v  ( x )ln x  x    x [ x x (ln x  1) ln x  x x  1 ] x  故 x y  1 