高数xt-1

高数xt-1内容摘要：

第一章　函数与极限 函数            函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） 函数的连续性与间断点   闭区间上连续函数的性质    数列极限的定义  函数与极限   函数极限的定义    夹逼准则   1 、极限的性质（ 1断定方法 ）    单调有界数列必有极限 唯一性（ 2 ）有界性 极限   无穷小与无穷大量、无穷小的性质 （ 3 ）归并性，（判断  极限不存在的方法）  （ 4 ）保号性   求极限的方法 2 、极限的运算法则 3 、初等函数的连续性 极限存在准则 两个重要极限 无穷小量的性质、无穷小的替换定理 极限的运算法则、函数的连续性 1 第一章　函数与极限 一．基本要求 : 1 ．理解函数的概念 , 反函数、复合函数、初等函数的概念； 了解函数的四种特性，掌握基本初等函数的性质及其图形。 2 ．掌握极限的定义和极限的有关性质，掌握极限存在的 夹逼准则和单调有界数列收敛准则，并能熟练运用极限运算法 则求数列和函数的极限。 3 ．了解无穷小与无穷大的定义及其性质，掌握无穷小的 运算法则。 ４．掌握函数连续性的概念，连续函数的性质，了解函数 的间断点及其类型，了解闭区间上连续函数的性质。 二．主要内容： １．函数的定义、反函数、复合函数、初等函数。 ２．函数的特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性。 ３．数列及其极限： （１）数列即一列数，其第 n 项称为一般项；从数列  x n  中取无穷项且保持原来的次序而得到的新的数列称为  x n  的子数列。 （２）数列的极限   0, N , 当n  N时，有 x n  a   . 极限存在或收敛。 a 称为  x n 的极限。 数列极限不存在也称该数列发散。 则称数列  xn  3 4 ．函数极限 定义 若  0,   0, 当0  x  x 0  时, f ( x )  A   , f ( x )  A. 则 xlim x 0 x   时，函数 f ( x ) 的极限、 f ( x 0  0)、 f ( x 0  0)、 lim f ( x )、lim f ( x ) x   x   可以看作定义在自然数集 N 上的函数 给定的一个数列 { x n }, f (n), 因此数列极限 lim x n是函数极限 lim f ( x ),因此数列极限 n  与函数极限都有下面的性质： x   x N 5 ．极限的性质 （ 1 ）唯一性 若极限存在，则极限唯一。 （ 2 ）有界性 若极限存在，则函数（数列）有界。 注：函数的有界是指局部有界，即在自变量变化过程中的某邻域 或某无穷区间内函数有界。 4 （ 3 ）归并性 （ i ） 对于一个数列来说，一个数列收敛的充分必要条件是其 任意子列都收敛，且收敛于同一极限。 （ ii ）对于函数来说，有 lim f (存在的充分必要条件是对于每一列 x) ① x x0 x n  x 0 ( x n  x 0 ), lim f ( x n )都存在，且极限都相等； n  f ( x ) 存在的充分必要条件是对于每一列 x n  , ② lim x  lim f ( x n )都存在，且极限都相等； n  x  , x   也有类似的结论。 ③ 对于单侧极限： 5 （ iii ）上述极限的性质经常用于判断极限不存在： ① 对于数列来说，若有两个数列均收敛，但极限值不相等， 则原数列极限不存在； ② 对于函数来说，若自变量有两个数列均收敛于 x 0（但每 一项都不等于 x 0 ）（或趋于 ）， 但其对应的函数值数列不 收敛或极限不相等， 则原函数极限不存在。 （ 4 ）保号性 f ( x )  A, 而且 A  0 （或 A  0 ），则   0, 若 xlim x 0 A A 当 x  U ( x 0 ,  ), 有 f ( x )  （或 f ( x )  ）。 2 2  若   0, 当 x  U ( x 0 ,  ), 有 f ( x )  0（或 f ( x )  0 ）， 且 lim f ( x )  A, 则 A  0 （或 A  0 ）。  x  x0 6 6 ．极限的运算法则 (1) lim[ f ( x )  g ( x )]  lim f ( x ) lim g( x )  lim f ( x ), lim g ( x ) ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )]  lim f ( x ) lim g ( x )  都存在． f ( x ) lim f ( x ) ( 3) lim  (lim g ( x )  0)   g ( x ) lim g ( x ) (4) lim f ( x )  0, g ( x )有界 , 则lim[ f ( x ) g ( x )]  0.   ( x )  a , 且  0, 当 x  U ( x 0 ,  ), (5)( 复合函数 ) 若xlim x 0 f ( u)  A, 则lim f [ ( x )]  A.  ( x )  a , lim x x u a 0 7 ．无穷小与无穷大 （ 1 ）无穷小与无穷大的定义 （ 2 ）无穷小与无穷大的关系 （ 3 ）无穷小的比较 7 （ 4 ）无穷小的运算法则： 在同一极限过程中，有限多个无穷小 的和 , 积是无穷小； 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 （ 5 ）无穷小的替换性质：设 、 是同一极限过程中的无穷小， '  ）， 且 ~  '、 ~  ' , lim 则 lim  （   0, '  0 '   ' 且lim  lim .  ' 8 ．极限存在的两个准则及两个重要极限。 （ 1 ）准则Ⅰ： 数列  x n  ,  y n  ,  z n  满足：  i  y n  x n  z n ;  ii  lim yn n  lim z n a . n  x n a 则 lim n  准则Ⅰ’：函数 8 （ 2 ）准则Ⅱ：单调有界数列必收敛。 （ 3 ）两个重要极限及一些重要等价无穷小： sin x lim 1; x 0 x x 1 1  lim  1    lim1  x  x  e . x  x 0 x  9 ．函数的连续性与间断点 连续性 lim y  0  lim f ( x )  f ( x 0 )  x  0 x  x0   0,   0, x  U ( x 0 ,  ), f ( x )  f ( x 0 )   9 间断点： （１）在 x 0点无定义 （２）在 x点极限不存在 0 （３）lim f ( x )  f ( x 0 ) x  x0 第一类间断点、第二类间断点 10 ．初等函数的连续性 11 ．闭区间上连续函数的性质： 最大值、最小值定理；介值定理和零点定理及其推论 10 三．例题 ax  b ( ad  bc  0)的反函数，并问 a , b, c , d 例 1 　求 y  cx  d 满足什么条件时，这反函数与直接函数相同？ ax  b 分析： ad  bc  0, 即 ad  bc , 从表达式 y  cx  d 中知， c、d 不同时为零， 不妨设 c  0, ax  b acx  bc acx  ad a y  2  2  , cx  d c x  cd c x  cd c ax  b 解 由 y 得： ( cy  a ) x  b  dy cx  d b  dy a ,  y x cy  a c b  dx y , 所以反函数为 cx  a 11 若反函数与直接函数相同，则 ax  b b  dx  cx  d cx  a     acx 2  bc  a 2 x  ab  cdx 2  bc  d 2 x  bd 比较系数得：  c(a  d )  0  (a  d )(a  d )  0  b(a  d )  0  所以 a  d 0 或  b c 0  a  d  0 12 e x 例 2 设 f ( x)  x 解 x 1  x2 x 0 , g( x )   2 , 求 f [ g ( x )]. x 1  x  1 x 0 e g ( x ) f [ g( x )]    g( x ) e x 2  x  2   2 x 1 e   2 x 1 g( x )  1 g( x ) 1 x1  1 x  0 0 x  2 x 2 g[ f ( x )] ? 13 例3 用数列极限的定义证明 1 1 1 1 (1) lim(1  2 )(1  2 )(1  2 )  n  2 2 3 n ( 2) lim 0.99    9 1 n  n个 证 (1) 对   0, 要证 N , 当 n  N , 有 1 1 1 1 (1  2 )(1  2 ) (1  2 )    2 2 3 n 事实上 1 1 1 1 22  1 32  1 n2  1 1 (1  2 )(1  2 ) (1  2 )   2  2   2  2 2 2 3 n 2 3 n ( 2  1)( 2  1) ( 3  1)( 3  1) (4  1)( 4  1) ( n  1)( n  1) 1       2 2 3 3 4 4 n n 2 1 n1 1 1     2 n 2 2n 14 1 1  1   , , 取N    . 要使 只需 n  2n 2  2  对    0, 当 n  N , 有 1 1 1 1 (1  2 )(1  2 ) (1  2 )    2 2 3 n 1 1 1 1  lim(1  2 )(1  2 )(1