高数7-4

高数7-4内容摘要：

第四节 数量积 向量积 混合积 一．两向量的数量积 F 1. 定义 : a b  a b cos  叫做向量 a 积。 当 a  0, b与 的数量 B  s A W  F S cos   F S b cos  Prja b,  a b  a Prja b, b  当 b  0, a b  b Prj b a a 1 由数量积的定义 可推得 1 2 a a  a . 2 2  a a  a cos 0  a .  2 a 0, b 0, a b 0  a  b. 证 a 0, b 0, a b 0  a b  a b cos  0   cos  0     a  b. 2 由于零向量的方向是任意的， 所以可以认为零向量与任何向 量都垂直，则 ab  a b  0 2 2. 数量积的运算规律 （ 1 ）交换律 a b  b a 证 a b  a b cos   b a cos  b a （ 2 ）分配律 （ 3 ）结合律 a  b c a c  b c.  a  b  a b ;  a   b  a b. 3 例 1 试用向量证明三角形的余弦定理 已知 BCA   , BC a , CA b, AB c , 2 2 2 要证 c a  b  2ab cos  . 记 CB a , CA b, AB c C  c a  b . 2   c  c c  a  b  a  b A b c  a B  a a  b b  2a b 2 2  a  b  2 a b cos  .  c 2 a 2  b 2  2ab cos  . 4 3. 数量积的坐标表达式 设 a a x i  a y j  a z k ,  b b x i  b y j  bz k ,  a b  a x i  a y j  a z k  b x i  b y j  bz k  a x b x i i  a x b y i j  a x bz i k  a y b x j i  a y b y j j  a y bz j k  a z b x k i  a z b y k j  a z bz k k 由于 i 、j 、 k 互相垂直，  i j i k  j k  j i k i k j 0; i i  j j k k 1,  a b a x b x  a y b y  a z bz 5 4. 两向量夹角 当 a 0, b 0,  a b  a b cos  , cos   a b ab 则 cos   a b ab  a x b x  a y b y  a z bz 2 2 a x  a y  az 2 2 2 b x  b y  bz 2 ----- 两向量夹角余弦的坐标表达式。 6 例 2 已知 M 1,1,1, A 2,2,1, B  2,1,2, 求 AMB .  ^  解   AMB  MA, MB .  MA  1,1,0 , MB  1,0,1 . B M  A MA MB 1 1  1 0  0 1 1 MA  1 2  1 2  0 2  2 ; MB  2 . cos   MA MB 1 1   . MA MB 2 2 2   AMB  . 3 7 二．两向量的向量积 力矩 = 力臂 × 力 力矩的模（大小）为 M  OQ F  OP F sin  , 而力矩的方向由右手规则确定 F O  F   Q P O L 右手规则 P M M OP F 8 b 1. 两向量的向量积的定义 设向量 c 是由两个向量 a 与 b 按下列 方式定出： （ 1 c 的模 c  a b sin  , 其中 ）  为 a 、b 间的夹角； a  c （ 2 ）c 的方向垂直于 a 与 b 所确定的平面， 方向符合右手规则。 向量 c 叫做向量 a 向量积 , 与向量 b 的 记作 a b , 即 c  a b 2 1  2 a a 0;   0, a a  a sin 0 0. a 0, b 0, a // b  a b 0. 9  2 a 0, b 0, a // b  a b 0. 证  a 0, b 0, a b 0  sin  0,   0,    a // b. 2. 向量积的运算规律 (1) 注意！向量积的运算 不满足 交换律 a b  b a . b (2) 分配律 (a  b ) c a c  b c .        (3) 结合律  a b a   b  a b . a c 10 3. 向量积的坐标表达式   设 a a x i  a y j  a z k ; b b x i  b y j  b z k   a b  a x i  a y j  a z k  b x i  b y j  bz k     a x i  b x i  b y j  b z k   a k b i  b    j  b k  a y j  b x i  b y j  bz k z x y z a x b x i i  a x b y i  j  a x bz i k    a y b x j i  a y b y j  j  a y bz j k    a z b x k i  a z b y k  j  a z bz k k 11 a x b x i 0i  a x b y i k j  a x bz i jk    a y b x j   j  a y bz j i k ki  a y b y j 0    a z bx k  j i  a z b y k i j  a z bz k  0k    i i  j  j k k 0 z k i o j y x      a b a y bz  a z b y i   a z b x  a x bz  j  a x b y  a y b x k  i   a b  a x  j  k ay az bx by bz 12 行列式按第一行展开 a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 31 a 32 a 33   1 1 1 a 22 a 11 a 32 a 23 a 21 1 2    1 a 12 a 33 a 31 a 23 a 21 1 3    1 a 13 a 33 a 31 a 22 a 32 例 4 设 a  2 ,1  1 , b  1 , 1 ,2 , 计算 a b . 解 i j a b  2 1 1 1 k     1  i  5 j  3k 2  2i  j  2k  k  4 j  i  i  5 j  3k . 13 例 5 已知 A 1 ,2 ,3  , B  3 ,4 ,5  , C  2 ,4 ,7  ,求三角形 ABC 的面积和 角 A 的正弦 . 1 1 解 S ABC  AB AC sin A  AB AC . C 2 2 AB  2 ,2 ,2 , AC  1,2 ,4 , i j k A B AB AC  2 2 2  4i  6 j  2k , 1 2 4 S ABC 1 2 1 2  4i  6 j  2k  4    6   2 2  14 . 2 2 AB  2 2  2 2  2 2  2 3 , AC  1 2  2 2  4 2  21 . sin A  AB AC AB AC 2 14 2   . 3 2 3  21 14 小结： 作业 :  习题 1. 向量的数量积a b  a b cos 7-4 作业纸： P 49—50 a b  a10 x b x  a y b y  a z bz 坐标表达式 2. 两向量夹角余弦的坐标表达式 学习指导：例 7.1—7 cos  a b ab . 8 a x b x  a y b y  a z bz  2 2 a x  a y  az 3. 两向量的向量积的定义    ^  大小：a b  a b sin a , b ,   方向：右手规则。 2 2 2 b x  b y  bz  i   a b  a x  j  k ay az bx by bz 2 15