高数7-3

高数7-3内容摘要：

第三节 向量的坐标 一、向量在轴上的投影 1. 轴上有向线段的值 设有一轴 u , AB 是 轴 u上的有向线段。  e o  A B 1 u e 1 , 若数  满足： （ 1 ）   AB （ 2 ）AB与轴 u同向时，  0; AB 与轴 u反向时，  0. 则数  叫做轴 u 有向线段 上 AB的值， 记作 : AB , 即   AB . 设 e是与 u同方向的单位向量， 则向量 AB  e; 反之，若 AB  e , 则 AB  .即 AB  AB  e 1 设 A、B、C 是 u轴上的任意三点， AC  AB  BC C A  AC  e  AB  e   BC  e   AB  BC  e AC  AB  BC  B   u u1,u2 即 A,B 两点的坐 标 若 OA  u1 , OB  u2 OA  u1 e OB  u2 e e  o  1 A  u1 B  u2 u AB OB  OA  u2 e  u1 e  u2  u1  e . 即 AB  u2  u1 e . AB u2  u1 2 2. 两个向量的夹角 b OA  a , OB  b ,  AOB ,0  称为 向量  a 与 b的夹角。 记为  a, b 或 b, a , B  O A a    即 a , b  . 规定 : 若向量 a 与 b中有一个为零向量，它们的夹角可以取 0与 之间的任意值。 3. 向量的投影 轴 u 平面  A'叫做点 A 在轴  u上的投影。 A   A' u 3 A' B'叫做向量 AB在轴 u Projection 投影 记作 Prj u AB 上的投影 。 A  或 AB u , 即   B u' B" A' A' B' Prj u AB B' u 向量 A’B’ 的值 轴 u叫做投影轴。 性质 1 （投影定理） A' B' Prju AB  AB cos  . 其中 为向量 AB与轴 u的夹角。 AB"  A' B' , Prju AB Prju' AB Prj u' AB  AB"  AB cos  4   性质 2: Prju a  b Prju a  Prju b.   Prju a1  a 2    a n Prj u a1  Pr ju a 2    Pr ju a n   性质 3: Prju  a  Prju a . 二 . 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 B 设 a  AB , A' B' Prju AB , A' B' OB' OA' u2  u1 . Prju AB a u  u2  u1 A  O A' B' a u e  u2  u1 e u1 A' u2 B' u A' B' 称为 AB在 u 轴上的分向量 . 5 z 设 a  M 1 M 2是以  M 1  x1 , y1 , z 1 为起点、 M 2  x 2 , y 2 , z 2  为终点的向量。 M 1 Q  Q1 Q 2 M1 R1 M 1 M 2  M 1 P  M 1Q  M 1 R M 1 P  P1 P2 R R2 P2 P1 P o M2 Q N Q1 Q2 y x M 1 R  R1 R2  M 1 M 2  P1 P2  Q1Q2  R1 R2 P1 P2 , Q1 Q 2 , R1 R2 分别称为向量 M 1 M在 x 轴 , y 轴 , z 轴上的 2 分向量。 6 以 i , j , k分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量 ,并称它们为 z 这一坐标系的基本单位向量 , 则 R2 z 1 P1 P2  a x i  x 2  x1  i , Q1Q 2 a y j  y 2  y1  j , R1 R2 a z k  z 2  z 1  k , 向量 a 分别在 x, y, z 轴上的投影 . R1 R z2 M1 k P y1 P1 oj Q 1 P2 x1i x M2 Q N y2 Q2 y x2 因此 a  M 1 M 2 a x i  a y j  a z k , 或 M 1 M 2  x 2  x1  i   y 2  y1  j   z 2  z1  k a  a x ,a y ,az 上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 7 a  a x , a y , az  向量 a 在三个坐标轴上的投影 a x , a y , a z , 叫做向量 a 的坐标 , 记作： a  a x , a y , a z  于是 M 1 M 2  x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1  .     a 的坐标表示式 特别地，向径 : OM  x , y , z . 注意：向量 a 在三个坐标轴上的投影 a x , a y , a z 是三个数， 而向量 a 在三个坐标轴上的分向量是三个向量 a x i , a y j , a z k . 8 2. 向量的坐标运算 设： a  a x , a y , a z  , 则 b  b x , b y , bz  , 1 a  b  a x  b x , a y  b y , a z  bz   2 a  b  a x  b x , a y  b y , a z  bz   3  a   a x ,  a y ,  a z   两向量平行的充要条件： 当向量 a 0 时，     a // b  b  a  b x , b y , bz   a x ,  a y ,  a z b x b y bz    a x a y az 注 : 当 a x , a y , a z 中有一个或两个为零， b x , b y , bz 中对应     的值也为零。 如：   a  3,2,0 , b  9,6,0 ; a  0,2,0 , b  0,6,0 等。 9 AM      1. 例 2 已知 A x1 , y1 , z1 , B x 2 , y 2 , z 2 , M  AB , MB 求 M  x , y , z. z 解  AM   MB , AM OM  OA , B x 2 , y 2 , z 3  M A x1 , y1 , z1  MB OB  OM .   1  OM  OA   OB , 1  OM  OA  OB  OM o y x 1  x , y , z  1     x 1 , y 1 , z 1     x 2 , y 2 , z 2   1  x1   x 2 , y1   y 2 , z 1   z 2   1 10 得点 M 的坐标为 x1  x 2 y1  y 2 z1  z 2 x ,y ,z  1 1 1 点 M 叫做有向线段 AB的定比分点。 当  时 1 , 点 M 是有向线段 AB的中点 , 其坐标为 x1  x 2 y1  y 2 z1  z 2 x ,y ,z  2 2 2 11 z 三 . 向量的模与方向余弦的坐标表示式 R 对于非零向量 a  M 1 M 2 , 可以用它与三条坐标轴的夹角 M1   ,  ,   0  ,  ,  来表示它 的方向。  ,  ,称为向量  o a 的方向角。 M2    P Q y x 向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影 , 所以 a  M M cos   a cos  ; 1 2  x  a y  M 1 M 2 cos   a cos  ;   a z  M 1 M 2 cos   a cos  . cos  , cos  , cos 叫做向量 a 的方向余弦 . (2) 12 2 2 2 2 2 2 a  M 1 M 2  M 1 P  M 1Q  M 1 R  a x  a y  a z . (3) （３）是用向量坐标表示的向量的模。 2 2 当 a  a x  a y  az 2 0 时，将（３）式代入（２）式得  ax cos   , 2 2 2  a x  a y  az   ay , cos   2 2 2 a x  a y  az   az  . cos   2 2 2 a  a  a  x y z (4) （４）是用向量坐标表示的向量的方向余弦公式。 13 2 2 2 cos   cos   cos   2 2 2 2 2 2 a x  a y  az a x  a y  az 1. (5) 与非零向量　同向的单位向量为 a 0 1 a  a x , a y , a z   cos  , cos  , cos  .  a  a a   例 3 已知M 1 2,2, 2 , M 2 1,3,0, 计算向量 M 1 M 2 的模，方向余弦 和方向角。 解     M 1 M 2  1  2,3  2,0  2   1,1, 2 ; 2  M 1 M 2    1  1   2 2  2 2; 1 1 2 cos   , cos   , cos   ; 2 2 2 2  3   ,   ,  . 3 3 4 14 例 4 已知 A 4 ,0 ,5  , B  7