高数6-5,6

高数6-5,6内容摘要：

组合是一种重要的创造技法。 《孙子兵法》中的一段话，可以说 是对组合的创造性最精辟的描述： “ 声不过五，五声之变，不可胜听 也；色不过五，五色之变，不可胜 观也；味不过五，五味之变，不可 胜尝也；战事不过奇正，奇正之变， 不可胜穷也”。 1 第五节 功 水压力和引力 一、变力沿直线段作功 :   设有一变力 F(x) 随位移 x 而变， 求它把物体由 a 移动到 b 所作的功。 a  O F(x) x  W F s x+dx  恒力作功： x b 取 x 为积分变量，它的变化区间为 [a,b] , 在此区间上任 小区间取 [x, x +dx], 在此小区间上变力所作的功近似等于以 x 点的 力为恒力所作的功，这个小区间功的近似值即为功元素。 功元素 即功元素 dW  F ( x )dx 为: 于是所求的功为 : b W   F ( x )dx a 2 例 1 把一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 O 处， 有一个单位正电荷放在距离原点 O 为 r 的地方，当这个单位正 电荷从 r =a 沿 r 轴移动到 r =b 时，求电场力对它所作的功。 解： 任一点 r 处单位点电荷受到的电场力为：F k q2 r 在  a , b  上任取小区间 r , r  dr , 1 O R  q kq 则功元素为 : r r+dr dW  2 dr a b r Q1Q2 由物理学知： F k 2 所以电场力所作的功为： r b b kq  1  1 1 W  dr  kq   kq      a 2 r  ra  a b      注   在计算电场中某点的电位时，要计算将单位正电荷从该点 处（ r =a ）移到无穷远处时电场力所作的功。 3 V    a  kq kq  kq  dx    称为电场中a处的电位 2  x a  x a 例 2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量气体。在等 温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞从点 a 处 推移到点 b 处，计算在移动过程中，气体压力所作的功。 先利用题设把力表示为 S 一定量的气体在等温条件下， 压强 p 与体积 V 成反比， 即 因为 V  xS 所以 O  x由物理学知道， 的函数 a  解 b x k P V k P xS 4  在  a , b上任取小区间  k k S  xS x O  F  pS  S  当活塞离 O 点 x 处，气 体 作用在活塞上的力为 a x x  dx b x  x , x  dx  , k dW  dx 功元素为 x b k b 故所求的功为 W   dx  k  ln x   k ln b a x a a 5 例 3* 一圆柱形的贮水桶高为 Hm ，底圆 半径为 Rm ，桶内盛满了水，试问要把桶内 较原例题稍有变化 的水全部吸出至少需作多少功？ O 分析 :把一个重量为 G 的物体提高高度为 h， W Gh x 最少需作的功是： 解 建立坐标系如图：   x+dx 在 [0 ， H] 上任取小区间 [x,x+dx] R 得功元素： H dW  g R 2 dx x 10 4 R 2 xdx 于是所求的功为： 2 H 水的密度  为 103kg/m3 重力加速度 g 取 10m/s2 x  W 10  R xdx 10 R   0  2 0  2 2  R H 10 4 1.5708 10 4 R 2 H 2 ( J ) 2 4 H 2 4 2 6 例 4 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉 击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入 1 厘米，如 果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤打击第二次时，铁钉 又击入多少？  O 解 建立坐标系如图 : x 由于铁钉受到的阻力与其进入木板 的深度成正比，当铁钉进入木板的深度 为 x 时， 所受到的阻力为 x  dx 1 f kx （其中 k 为比例系数） x 在  0,1 上任取小区间  x , x  dx  , 则功元素为 dW kxdx 1 第一次所做的功 W 1 dW kxdx  k . 0 0 2 1 1 7 第二次锤击时又击入 hcm , 则第二次所做的功为 1 h 1 h 1 1 W 2   dW   1 kxdx  k h 2  2h . 2    W1 W 2 , 1 1  k  k h 2  2h . 2 2   解得： h  1  2 . 舍去负值， 则 h  2  1. 8 二 . 液体的压力 由物理学知道，一面积为 A 的平板 水平地放置在液体深为 h 处，平板一侧 所受液体的压力为： P  pA  gAh 其中， p是液体深为 h处的压强， 是液体的密度。 如右图垂直放在液体中的薄  O a 板， 取深度 x 为积分变量，它的变化区间 x x+dx 为 [a,b] ，在 [a,b] 上取代表区间 [x ， x+dx], 可以得到相应小窄条薄 b 板一侧受到的液体压力元素： b x dP  g x  f ( x )dx P   gxf  x dx a y y = f (x) 9 例5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内 盛 有半桶水。设桶的底半径为 R ，水的比重 为 , 计算桶的一个端面所受水的压力。 解 : 建立如图所示的坐标系， 则圆的方程为： x 2+ y 2= R 2 x 在 OX 轴上任取小区间 [x,x+dx], 水桶相应于这一小区间的窄条所受 水的压力的近似值即压力元素为 dP gx 2 R 2  x 2 dx O Y x+dx R X （gx为水深 x处的压强） 10 于是所求水的压力为： R 2 2 P   2 gx R  x dx 0 R 1 2  g  ( R 2  x 2 ) d ( R 2  x 2 ) 0 2 2  g  ( R  x 2 )  3 3 2 水的密度 103kg/m3 在统一量纲计 算时，值为 1. R  2  gR 3   0 3 11 三 . 引力 从物理学知道，质量分别为 m 1 , m 2相距为 r 的两质点 间 的引力的大小为： m1 m 2 ( 其中 G 为引力常数） F G 2 r 补充例题： 设有一长为 l ，质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的 质点与细杆在同一条直线上，它到杆的近端距离为 a ，计算细 a l 杆对质点的引力。 解 : 建立坐标系如图。  m x x x+dx O 以 x 为积分变量，在 [0,l] 上 取小区间 [x ， x+dx], 相应于这段杆长为 dx, M 质量为 dx ,且看作集中在 x 点处。由万有引力公式： l M l dx 小段细杆对质点的引力 元素是：dF  ( x  a)2 Gm 12 所以，细杆对质点的引 力为： M m l GmM l 1 l F  G dx  dx  2 2 0 0 l ( x  a) ( x  a)  GmM l l 1  GmM    .  x a   0 a(l  a ) 注：这是一种较为简单的情况，如果质点与细杆不在一条直 注： 线 上，则必须将引力分解为水平和垂直两个方向分力，然后分别相 加。 13 例 6 设有一长度为 l ,线密度为  的均匀细直棒，在其中 垂线上距棒 a单位处有一质量为 m的质点 M , 试计算该棒对质 点的引力。 y l 解 建立如图所示的坐标系 , 2  l l y  dy  , 在区间  上任取一小区间  y , y  dy  ,   y dF  2 2 在这个小区间的一段细棒看成是质点， O a 它对于质点 M 的引力（即引力元素）为： m dy dF G 2 a  y2 dF 小为：  x  M l 2 在水平方向的分力的大 dF x dF a a2  y2 am G a 2  y2  3 2 dy 14 故细棒对质点的引力在水平方向的 分力的大小为 l 2 l  2 l 2 l  2 F x   dF x   G am a 2 y 3 2 2 l 2 dy  2Gml 1   a 4a 2  l 2 （方向由 M指向原点 O） y y  dy  y O dF a Fx x  M l  2 由于对称性，引力在铅直方向的分力为： F y 0. 当细棒的长度很大时，可视为 l 趋于无穷，此时引力大小 2Gm F  a 方向与细棒垂直，且由 M 指向细棒。 15 第六节 平均值 一、函数的平均值 1 、 n 个数的算术平均值： 设有 n 个数 y1 ， y2 ， … yn 称 1 y n n y i 为这 n个数的算术平均值。 i 1 2 、函数 y = f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值的定义 b a ： 把区间 [a,b] 分成 n 等分，每个小区间的长度为 , n 在每个小区间内取一点 xi ，其相应的函数值为 f ( xi ) f ( x1 )  f ( x 2 )    f ( x n ) 1 n 则：   f  xi  n n i 1 是函数在区间 a , b  上平均值的近似值 . 16 分法越细，近似值的精确度越高。当分法无限变细的时候， 1 n lim  f ( x i )就是函数f ( x )在区间 a , b 上的平均值。 n  n i 1 1 n 即： f ( x ) lim  f ( x i ) n  n i 1 n 1 n 1 但是， lim  f ( x i ) lim  f ( x i ) n  n n  i 1 i 1 n n 1 n b a 1 b a lim f ( xi )  lim  f ( x i )  n  b  a