高数6-3,4

高数6-3,4内容摘要：

大脑的耳叶中，有一部分叫做 “ 海马”，它是记忆中枢。有趣的是： 左脑的海马，是记忆最近的事情，记 得快忘得也快（短时记忆）；右脑的 海马，是保存自出生以来的一切事物， 而且永不丢失（永久记忆）。不过， 它却象是被挤在了仓库的角落里，尘 封了起来。 1 第三节 体 积 y y  f (x) 一、旋转体的体积 o b 2 V   f ( x ) dx a d a x x  dx b x y d 2   V    ( y ) dy c x  ( y ) c 二、平行截面面积为已知 的立体的体积 x o y A(x) b V   A( x )dx a o a x x  dx b x 2 一 . 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕平 旋转体 面内一条直线旋转一周而成的立体， 这直线叫做旋转轴。 如图所示圆柱体、圆台体、圆锥、 及球体都是旋转体。 3 求由 y  f ( x ), x a , x b, y 0 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周 而成的立体的体积。 , 积分变量为 x积分区间为  a , b在  ,  a , b上任取小区间   x , x  dx  , 相应的窄曲边梯形 y  f ( x) y O a   x x  dx b x  x x  dx b x 绕 x 轴旋转而成的薄片的体积， 用圆柱体的体积近似代替， y  f ( x) y 圆柱体的体积即体积元素： 体积元素 所以 2 dV   f ( x ) dx b 2 V     f ( x ) dx O a  a 4 由曲线 y x  ( y )和直线 y c , y d d 与 y 轴所围成的曲边梯形 绕 y 轴 ， 旋转一周而成的旋转体的体积为： d x  ( y ) c 2 V     ( y ) dy c r为底半径， h 为高的圆锥的体积 。 例 1 求以 解： 建立坐标系如图 r OP的直线方程为： y  x h 于是所求圆锥体的体积为： 2 3 2 h   h  r  r x  r h   V    x  dx  2   0 3 h  3 0 h  2 当然这个题可以用元素法来解。 x o y P(h,r) r O h x 5 y x2 y2  2 1 2 a b 例 2 计算由椭圆 所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体 （叫做旋转椭球体）的体积。 解： 这个椭球体可以看作是由上半个椭圆 o x 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体， 若绕 y 轴旋转 b 2 2 上半个椭圆的方程为： y  a  x 4 2 a V  a b 2 3 a a b 2 2 2 所以： V  y dx (a  x )dx 2  a b2  2 a a a  2 x3  a 4 2 a x    ab   3   a 3 当 a=b 时，旋转椭球体就成为半径为 a 的球体 , 它的体积 4 3 为 V  a 3 6  x a( t  sin t ) 例3 计算由摆线   y a(1  cos t ) 的一拱、直线 y =0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转而成的 旋转体的体积。 y 2a y  y( x ) 2a O a x 2a 解：图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 令x a ( t  sin t )， 2a y a 1  cos t . 2 V x  y ( x )dx 0 则dx a (1  cos t )dt 2 当x 0时，t 0  a 2 (1  cos t ) 2 a(1  cos t )dt 0 当x 2a时，t 2   a 3 2  0 (1  3 cos t  3 cos 2 t  cos 3 t )dt 5 2 a 3 7 y 图形绕 y 轴旋转而成的 旋转体的体积为 2a V y   x 0  2 2  y dy  A B x =x1(y) 2a a O 2 1 0 2   0 a  t  sin t  a sin tdt  a   a 2 3 3 2 2  (t  sin t ) sin tdt  t sin tdt  2 t sin    0 2 0 2 2a x 令y a (1  cos t )， 2 2 2 a  t  sin t  tdt a t x  sin a sin  则dy a sin tdt  2 a  t  sin t  a sin tdt      C  x  y dy 2 2 x=x2(y) 2 0   对于x  x 2  y , 当y 0时，t 2 ; 2 周期函数 2 3 当y 2a 时，t  . tdt  sin tdt  奇函数 0 对于 x  x 1  y    2 2 t 0 1  当y20时， 2 3 2  a  6  2 t sin t  0  2 sin tdt  ( t sin 2t  0   sin 2tdt ) 0 2 当y 2a0时，t    6 3 a 3 8 二 . 平行截面面积为已知的立体的体积 ) 用 A( x表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积（已知）。 积分变量为 x , 积分区间为  在  a, b上任取小区间  a , b ,  x , x  dx  , y 则体积元素为： A( x ) dV  A( x )dx 所以 b V   A( x )dx a O a x x+dx b x 9 例 4 一平面经过半径为 R -R 的圆柱体的底圆中心，并与 底面交成角 , 计算这平面截 圆柱体所得立体的体积。 建立直角坐标系如图： 解： 则底圆的方程为：x 2  y 2  R 2 Y  O x  x 2  y 2 R 2 R X 过任意点 x    R, R  , 作垂直于 x 轴的截面， 截面为一直角三角形， 它的两条直角边的长分别为 R 2  x 2 , 及 R 2  x 2 tan  , 因而截面积为 1 2 A( x )  ( R  x 2 ) tan  2 于是所求立体体积为： R 1 1 1 3 R 2 3  2 2 2 V   ( R  x ) tan dx  tan   R x  x   R tan  R 2 2 3  R 3  10 例 5 求以半径为 R 的圆为底， 平行且等于底圆直径的线段为顶、 高为 h 的正劈锥体的体积。 h Y 解：建立底面直角坐标系如图， 使 x 轴与正劈锥的顶平行， 则底圆的方程为： x 2  y 2  R 2 -R O x R X 截正劈锥体得等腰三角形。 过 x 轴上的点 x 作垂直于 x 轴的平面， 这截面的面积为： A( x ) h y h R 2  x 2 于是所求正劈锥体得体积为： R R R R V   A( x )dx h R 2  x 2 dx R 2 h 2 R h cos d  0 2 正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。 2  2 2 11 第四节 平面曲线的弧长 一、平面曲线弧长的概念 设 A 、 B 是曲线弧上的两个端点， ⌒ A  M 0、M 1、M 2、 在弧 AB 上任取分点 、M i  1、M i、、M n 1、M n  B, 并依 y M i  1 M 2 M1  次连接相邻的分点得一内接折线。 （ 当分点的数目无限增加且每个小段 M i  1 M i 都缩向一点时，如果折线的长 n  i 1  Mi   M n 1   B M n  A M 0 O M i  1 M i的极限存在，则称此极限为曲线弧 x ⌒ AB 的弧长， ⌒ AB 是可求长的。 并称此曲线弧 定理 : 光滑曲线弧 ( 即弧上任意点具有一阶连续导数）是可求长的。 12 二 . 直角坐标情形 y y  f ( x) 设曲线弧由 y  f ( x ) ( a  x b ) dy dx 给出，其中 f （ x ）在 [a ， b] 上 f ( x) 上具有一阶连续导数，现在来 O 计算这曲线弧的长度。 a x x  dx b x 在  a, b 上任取小区间  x , x  dx  , 从而得弧长元素： ds   dx  2   dy  2  1  y' 2 dx--- 弧微分公式 于是所求弧长为 b 2 s   1  y' dx a 13 2 32 计算曲线y  x 3 例1 一段弧的长度。 解 ∵ y'  x 上相应于 x 从 a 到 b 的 1 2 1 2  ds  1  ( x ) 2 dx  1  x dx 因此所求弧长为： 3 2  b 2 s   1  x dx   (1  x )  a  3  a 3 3   2 2 2   (1  b )  (1  a )  3   b 14 例2 两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成 曲线形，这样的曲线叫悬链线，适当选取坐标系后，悬链线的 x y c ch ( 其中 c 为常 c 数) x  b 与 x b 之间一段弧的长度 . 方程为： 悬链线上介于 解 x ∵ y' sh c Y x x dx ch dx ∴ ds  1  sh c c c 2 b O X b 因此所求弧长为： b x x x x b b  s 2  ch dx 2c  ch d 2c  sh  2c s