高数6-1，2

高数6-1，2内容摘要：

右脑思维的核心是形象思维， 在大脑中多出现形象的东西，在 各项思维活动中，多借助形象， 就训练了右脑。 1 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 第六节 平均值 　 水压力和引力 2 第一节 定积分的元素法 求由 x a , x b, y 0 和 y  f ( x ) 所围成的曲边梯形的 面积 A 须经过以下四个步骤： （ 1 ）分割 : 把  a , b分成  n 个小区间， 设第 i 个小曲边梯形 的 面积为 Ai , 则： y n A  Ai y  f ( x)  i 1 （ 2 ）近似替 代： Ai  f ( i )x i ( x i  1  i  x i ); n o （ 3 ）求和：A  f ( i )x i a xi 1 xi b x i 1 n b （ 4 ）取极限： A lim  f ( i )x i   f ( x )dx;  0 i 1 a 3 在上面的问题中，所求的量面积 A 有如下性质： （ 1 ） A 是一个与变量 x 的区间 [a,b] 有关的 量； （ 2 ） A 对于区间 [a,b] 具有可加性，即整个曲边梯形的面 积 等于所有小曲边梯形面积的和。 （ 3 ）以 f ( )x 近似代替部分量 i i 因此和式 x 高阶的无穷小， i n  f ( )x i i 1 精确值，即： Ai 时，它们只相差一比 i 的极限就是 A 的 b A   f ( x )dx; a 4 求 A 的积分表达式的步骤可简化如下： （ 1 ）确定积分变量 x 及积分区间 [a ， b] ； （ 2 ）在 [a,b] 上任取小区间 x , x  dx  y y  f ( x) 以 f ( x )dx作为 A 的近似值。 A  f ( x )dx 即： A f ( x )dx 叫做面积元素 , 记 为 O dA  f ( x )dx （ 3 ）写出 A 的积分表达式，即：A  b  a a dx x x  dx b x f ( x )dx 5 一般地，如果某一实际问题中的所求量 U 符合下列条件： （ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间 [a ， b] 有关 的量； （ 2 ） U 对于区间 [a ， b] 具有可加性 ； （ 3 ）部分量 U i 的近似值可表为 f  i  x i 那么这个量就 可以用积分来表示。 具体步骤是： （ 1 ）确定积分变量，和它的变化区间 [a,b] ； （ 2 ）写出积分元素 U dU  f  x dx （ 3 ）写出 U 的积分表达式，即： b U   f ( x )dx a 6 第二节　　平面图形的面积 y  (x) 一、直角坐标情形  (x) b A    ( x )   ( x )dx a o x x  dx a x b   d 二、极坐标情形  d 1 2 A     ( ) d  2  o   r  ( ) x 7 一、直角坐标情形 X 型 在  a , b 上任取小区间  x , x  dx  , 则 dA   2  x    1  x  dx  y y  2  x   b  A  2  x    1  x  dx a y  1  x  o y 穿出  y 穿入 y a x x  dx c 2 x X 型 Y 型 在  c, d  上任取小区间  y , y  dy  , d x  1 ( y ) 则 dA  2  y    1  y   dy y  dy y d c A   ( y )   ( y )dy  b x  2 ( y ) 1 x 穿出  x 穿入 Y 型 x 8 2 例１计算由 y  x , y  x 解 解方程组  y 2 x  2 y  x  2 所围成的图形的面积。 y (1,1) 1 (0,0)和 (1,1) 得抛物线的两个交点 取 x 为积分变量，积分区间为 0 ,1 , 在 [0,1]上任取小区间  x , x  dx  ， o x x  dx 1 x 面积元素为 dA ( x  x 2 )dx . 1  故所求面积为 A   0 3 3   1 1 2 x 2 2 x  x dx  x    . 3  0 3  3  注：所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即 注： 1 1 1 2 A   x dx   x dx  . 0 0 3 9 2 例２ 计算抛物 y 2 x与直线 y  x  4所围成的 线 图形的面积。 y 1 2  y 2 x 解（ 1 ）解方程组   y x  4 得交点 ( 2, 2),  8,4  ， y  dy y 以 y 为积分变量，积分区间为 [-2,4] ，o x  y2 2 (8,4) x y4 ( 2,  2 ) x 在 [-2,4] 上任取小区间 [y,y+dy], 面积元素为 1 2  dA   y  4  y  dy 2   4 2 3 y y  4  1 2  4y  所求面积为： A    y  4  y  dy   18 2 6  2 2    2 注：若将所求图形的面积看成两个曲边梯形的面积之差：则 注： 4 4 2 3 4 4 1 y  y  2   A  y  4 dy  y d y   4 y     18  2 2 2  2  2  6  2 10 注：如果取 x 为积分变量 注： X 型 在  0,8 上任取小区间  x , x  dx  , 则 dA   2  x    1  x  dx  y (8,4)  8  2  x    1  x dx  A  0 o 不好！ dA (2, 2) x y 穿出  y 穿入 11 补充例题：求曲线 y =ln x, x =2 及 x 轴 ， 所围成的平面图形的面积。 解：按照 X 型， Y 型计算都可以。 按X 型 ： 有关的曲线写成 y  ( x )型 2 2 1 A   ln x  0 dx  x ln x   1 按 Y 型： 有关的曲线写成 x  ( y )型 ln 2  y   A   2  e dy  2 y  e 0 y ln 2 0  y y=lnx O 1 x=2 2 x 2  xd ln x 2 ln 2  1. 1 y ln 2 y=lnx O 1 x=2 2 x 2 ln 2  1. 12 x2 y2 例3 求椭圆 2  2 1 所围成的图形的面积。 a b y 解：设椭圆在第一象限部分的面积为 A1 dA1  ydx 则椭圆的面积为 A 4 A1 4 a  ydx o 0 A1 x x  dx  x a cos t 利用椭圆的参数方程   y b sin t x 应用定积分换元法，令 x a cos t , 则：  y b sin t , dx  a sin tdt , x 0t  ; x a , t 0. 2 0 A 4  b sin t (  a sin t )dt  4ab  2  2 0 2 sin tdt  2 4ab  sin 2 tdt ab 0 当a b时，椭圆变为圆， A a 2。 13 问题 : 当曲线是以参数形式给出时，该如何计算平面图形的面积 ？ y L2 若曲线以参数方程的形 式给出：  x  1  t  L1 :   y  1  t   x  2  t  L2 :   y  2  t  L1 X型： b a  y出  b y 入 dx  y出 dx  a o b a y 入 dx             t  t dt   t  2 2  1 1  t dt  2 1 2 1 Y型： d x c 2  x 入 dy  x 出 dy  c  2  2 b x y d y+dy d 出 x x  dx a d  x dy    t   t dt     t   t dt 入 c 1 2 1 1 y c L1 L2 1 x14 补充：极坐标 1 ．极坐标系 在平面内任取一定点 O ，过 O点引射线 Ox，再规定一个长 度单位及角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了 极点 一个极坐标系。其中，定点 O 叫做极点，射线 极坐标系 Ox 叫做极轴。 极轴  P( r ,  ) r  O    x 在极坐标系下，平面上任一点 P 的位置就可以用线段 OP 的长度 r 及从 Ox 到 OP 的角度  来确定。有序实数对 ( r ,  ) 叫做极径， 就称为 P 点的极坐标，记为 P ( r ,  ) 。 r  其中 叫做极角。极点 O 的极径为 0 ，极角可取任何值。 极角 15  r  O   P (r , )    x O  P (    P (r , )  x r , ) 对于给定的极坐标 ( r ,  )，平面上有唯一的点与之对应；但 对于平面上的点 P ( r ,  )，则 ( r ,   2n ), (  r ,   ( 2n  1) ) ( n  Z ) 都可以作为它的极坐标。 因此，平面上的点