高数5-7

高数5-7内容摘要：

想象，是利用头脑中已有的形象， 经过改造、重组、联合而创造新形象的 思维活动。任何发明创造都离不开想象。 想象的力量高于意志的力量，人们 一般不敢通过架在七层楼高处、 30cm 宽的木板，就是因为想象造成的恐惧。 创造学之父奥斯本说：“想象带给 人的，是比金子还珍贵的东西” 1 第七节 广义积分 常义积分 有界函数在有限区间上的积分。  1. 积分区间为无穷区间（又称无穷积分） ; 广义积分   2. 被积函数为无界函数（又称瑕积分） . 一 . 无穷限的广义积分 定义 设 f ( x )  C  a ,, b  a . 如果 1 b I  lim  f ( x )dx 存在。 b  a 则称这极限为 f ( x )在 a ,的广义积分，记作：  a  f  x dx  lim 即 a f ( x )dx , b  f  x dx . b   a (1)  这时也称广义积分  f ( x )dx 收敛 ; a 2 如果上述极限 (1) 不存在 , f ( x ) 在[a ,) 上的广义积分    a  a f ( x )dx 就没有意义，则称广义积分   a f ( x )dx 发散 , 这时 f ( x )dx 不再表示数值了 . 类似地 设f ( x )  C   , b , a  b. 如果 I 1  lim b  f ( x )dx 存在。 a   a b 则称这极限为 f ( x )在  , b的广义积分。记作：   f ( x )dx , 即 b b  f  x dx  lim  f  x dx . a    这时也称广义积分 b   (2) a f ( x )dx 收敛; b f ( x )dx 发散 . 如果上述极限 不存在 , 则称广义积分   3 0 f ( x )dx 和 设 f ( x )  C (  ,), 如果广义积分    0 f ( x )dx 都收敛 , 则称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间 (  ,) 的广义积分 , 记作   f ( x )dx  即  0     f  x dx  f  x dx   f  x dx 0  lim a   0 b  f  x dx  lim  f  x dx . a b   0 (3)   f ( x )dx发散 . f ( x )dx收敛 ;否则称广义积分 这时也称广义积分    0   0 注 : 两个广义积分  f ( x )dx与 f ( x )dx中有一个发散 ,  广义积分  f  x dx发散.  4 y 例 1 计算广 义积分 dx   1  x 2 . 1 y 1  x2  a 解 由 (3) 式得 o b x 0  dx dx dx     1  x2  1  x2 0 1 x2 0 b dx dx  lim   lim 0 1  x2 a   a 1  x 2 b      lim  arctan x  0a  lim  arctan x  b0 a   b    lim arctan a  lim arctan b a   b          .  2  2 5 注意： lim  F ( x ) ba  F ( x ) a b  不能写作  F ( x ) a  F ( )  F (a ) 可写为 即 同理  F ( x ) a   x        x   f ( x )dx  F ( x ) a  lim F ( x )  F (a ) a b lim F ( x )  F (a ) f ( x )dx  F ( x ) b   F (b)  lim F ( x ) x    f ( x )dx  F ( x )    lim F ( x )  lim F ( x ) 上例可写作：  dx   1  x 2 x   x    arctan x     lim arctan x  lim arctan x  x   x   但不能写作：arctan     arctan     6 例2 解： 计算广义积分   0 te  pt   0 te  pt dt dt  lim ( p  0). b  pt te  dt b   0 b 1  lim td ( e  p b   0  1  lim te  p b   pt  b 0 pt ) b lim  F  x   a  F  x   a  b  e  0  b   pt dt  t 1 1 lim te  pt lim pt  pt   pt   te  2 e t   t   e 0 0 p p 1 1  pt 1 0 e  1 tlim pt  lim te  pt  0  2 tlim   pe p   p t            1 . 2 p 7 例3 证明 dx 当 p>1 时 收敛 ( a  0 ) a x p ； 当 p≤1 时 发散。 p=1 时  解：当   a dx   ln x  a  lim ln x  ln a ; x   x 当 p ≠1 时   a dx xp  a 1 p x  ,     p  1 1  p a   , 1 p  p  1, p  1. a 1 p 故：当 p  1时，广义积分收敛于 ； p 1 当p 1时，广义积分发散。 P15 8 二 . 无界函数的广义积分（瑕积分） 定义 2 设 f ( x )  C  a , b , lim f ( x ) .  0, 若极限 x  a 0 b lim    0 a  f ( x )dx 存在。 则称此极限为 f ( x )在 a，b的广义积分，记为 b  f ( x )dx , a 即： b b  f  x dx lim   f  x dx a (4)  0 a  b 这时也称广义积分  f ( x )dx 收敛 ; a 如果上述极限 不存在 , b 则称广义积分 a f ( x )dx 发散 .  a a+ b 9 类似地，设 f ( x )  C  a , b , lim f ( x ) . 若对  0, 极限 x b 0 b  lim    0 a f ( x )dx 存在， , 则称此极限为 f ( x )在 a，b 的广义积分 , 记为 b  f ( x )dx, a 即： b b   f ( x )dx lim  a  0 a f ( x )dx (5) b 这时也称广义积分  f ( x )dx收敛； a b 若上述极限不存在，则 称广义积分  f ( x )dx发散。 a 10 设 : f ( x )  C  a，c    c，b  , lim f ( x ) , x c c b a c b c b a a c 若两个广义积分  f ( x )dx与 f ( x )dx都收敛，则定义  f  x dx  f  x dx   f  x dx c  b  lim  f  x dx  lim  f  x dx;   0 a   0 c  ( 6) b 否则称广义积分  f  x dx发散。 a c b a c 注 : 两个广义积分  f ( x )dx与 f ( x )dx中有一个发散 , b 广义积分  f  x dx发散. a 11 dx a 例 4 . 计算广义积分  0 1 解  lim x a  0 a  0 a2  x2 dx 2 a  x y 1 a2  x2  , 2 a  a2  x2 ( a  0) y  lim    0 0 a  dx 1 o a2  x2 a- a x x   lim  arcsin   lim  arcsin a    0 arcsin 1      0  a  0   0  a 2  a 0 1 a2  x2 a x   dx  arcsin   . a0 2  dx 的几何意义是： 2 0 1 x 1 位于曲线 y  之下，x轴之上，直线 x 0与x 1之间 2 1 x 的图形面积。 12 1  dx 的收敛性。 2 1 x 1 例5 解 讨论广义积分  1 1 f ( x )  2  C   1,0   0,1 , lim 2 . x 0 x x 1 1  1 dx  1 1 lim    lim   1  ,  dx  lim  2 2   0 0   0  x x   x     0  1 dx 所以广义积分  发散，广义积分 2 0 x