高数5-4,5

高数5-4,5内容摘要：

人在不同的状态下的脑电波是不同的， “ 放松性警觉状态”称为波状态。暗示教 学的专家发现：每分钟 60——70 拍的音乐， 有助于人们进入波状态。在这种状态下， 人的潜意识思维活跃。学习的效果比“完 全清醒状态”高出几十至几百倍。 适当的音乐至少有三个作用：帮助放 松、激活右脑、将信息移入长期记忆。 所以说：音乐是学习的高速公路。 1 第四节 定积分的换元法 定理 ( 换元公式 ) 若f  x   C  a , b , x   t 满足条件 : 1    a ,     b;  2  t 在 ,   或  ,   上具有连续导数，且  t    a, b， 则有 b   f  x dx  f   t  '  t dt a 证  f ( x )  C  a , b ,  b  f ( x )dx a 及 f   ( t ) ' ( t )  C  ,     f  (t ) ' (t )dt . 设 F (x ) 是 f (x )的一个原函数，则 F '  x   f  x , N - L  b a f  x dx  F  b   F  a . 2 ( t )  F  ( t ) 看作是由 F ( x )与x  ( t )复合而成的函数。 dF dx  ' ( t )   f ( x ) ' ( t )  f   ( t ) ' ( t ). dx dt   f  (t ) ' (t )dt (  )  ( ). ( t )  F   ( t ) ,  ( )  a ,  (  )  b,         F        F       F  b   F  a   b a f ( x )dx  F (b)  F (a )  (  )  ( )   f   ( t ) ' ( t )dt .  证毕 3 注意： (1) 用 x  (t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也要换成 相应于 t 的积分限 ; (2) 求出 f   ( t ) ' ( t )的一个原函数 (t ), 不必把 t 换成 x , 直接求 : b  a f ( x )dx   f   (t ) ' (t )dt (  )  ( ) 不换元即不换限；换元则换限，不回代。 4 a 例 1 计算 解  0 a 2  x 2 dx (a  0). 设 x a sin t , 则dx a cos tdt ,  x  0,  t  0; x  a ,  t  . 2 2  / 2 a a 2 2 2 2  a  x dx a  cos tdt  0 a2  2 例2  2 0 2  /2  0 (1  cos 2t )dt 1 a 2    t  2 sin 2t   4 .  0 计算  2 0 5 cos x sin xdx  解 设 t cos x , 则dt  sin xdx ,  x 0 ,  t 1 , x  ,  t 0. 2 1  6 0 1 t  1 5 5 2 cos 5 x sin xdx  t dt  t dt     . 0 1 0  6 0 6 5  2 0  2 0 5 5 cos x sin xdx   cos xd (cos x )    2  cos 6 x  1 1       0    6 6   6 0 例3 计算 解：    0 sin 3 x  sin 5 x dx sin 3 x  sin 5 x  sin 3 x (1  sin 2 x ) 3 sin 2    x cos x , x   0,   cos x , x   0, 2  ;    cos x    3 5   cos x , x    ,   .  sin x  sin x dx 0 2     3 3   2 2 2  sin x cos xdx  sin x (  cos x )dx   0 2 6 3 2  2 0  sin xd (sin x )   2 5 2   2  sin 5 2 3 2 xd (sin x )  2  2  2  sin x    sin x    5 0 5  5  2 4    .  5 5 2   注意 如果忽略了 cos x  cos x , x   ,   , 2  则下列计算是错误的： sin 3 x  sin 5 x    0  3 sin 2 x cos x , x   0,   sin 3 x  sin 5 x dx 3 2  sin x cos xdx 0 5 2   sin 2 5    x  0  0 7 4 例4 计算 0 x2 2x  1 dx . t2  1 2 x  1 t ,  x  , 则dx tdt , 2 x 0 ,  t 1; x 4 ,  t 3. 解 4  0 t2  1 2 x2 3 1 3 2 2 dx  tdt   ( t  3)dt  1 1 2x  1 2 t 3 3  1t 22    3t   2 3 3 1 例5 证明： 若f ( x )  C   a , a  ,  a  a a  f ( x )dx , f ( x ) 为偶函数 2  f ( x )dx  0 为奇函数  f ( x) 0, 8 证 a  a 0  a 0 a a 0 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx f ( x )dx x  t  a 0  f (  t )dt a a   f (  t )dt   f (  x )dx 0 a 0 a a 0 0  f ( x )dx  f ( x )dx   f ( x )dx   f (  x )  f ( x ) dx  a a 0 (1) 若 f ( x )为偶函数 , 则 f ( x )  f (  x ) 2 f ( x ),  a  a a f ( x )dx 2  f ( x )dx . 0 (2) 若 f (x )为奇函数 , 则 f ( x )  f (  x ) 0,  a  a f ( x )dx 0. 9 例 6 若 f ( x )  C  0,1 , 证明  2 0  (1)  f (sin x )dx   2 0  f (cos x )dx;   ( 2) xf (sin x )dx   f (sin x )dx , 0 2 0  x sin x dx . 并由此计算  0 1  cos 2 x 证  (1) 设 x   t , 则dx  dt , 2    x  0,  t  ; x  ,  t  0. 2 2 0    f (sin x )dx    t   dt  f  sin  2   2  2 0  0  2 0    f  cos t  dt  f  cos x  dx . 2  2 0  2 0  f  sin x dx  f  cos x dx; 10   xf (sin x )dx   f (sin x )dx 证  0 2 0 (2) 设 x   t , 则dx  dt , x  0,  t  ; x  ,  t  0.  0    xf (sin x )dx   (    0 t ) f [sin(  t )]dt f (sin t )dt   (  t ) f (sin t )dt  0 0  f (sin x )dx  0   tf (sin t )dt 0   xf (sin x)dx. 0  0 xf  sin x  dx  2    0 f  sin x  dx x sin x   sin x dx 0 1  cos 2 x  2 0 1  cos 2 x dx . 2   d (cos x )          arctan(cos x ) . 2 0  0 2 1  cos x 2 4   11 例7 设 函数 计算 解 2  xe  x , x  0,  f ( x )  1 , - 1  x  0,  1  cos x 4  f ( x  2)dx . 1 设x  2 t , 则dx dt , x 1,  t  1; x 4 ,  t 2. 4 2 1 1  f ( x  2)dx  1 2  t2  dt  e d (  t 2 ) 1 2 0 2 t 2 cos 2 0 2 t 1     1 1 1   tan    e  t   tan  e  4  . 2  1  2 2 2 2  0 0 1 2 dt  t2  te dt f ( t )dt    1 1  cos t 0 0 2 12 f ( x