高数5-1,2

高数5-1,2内容摘要：

第一节 定积分的概念 一 . 定积分问题举例 y y  f (x) 1 ．曲边梯形的面积 曲边梯形的定义 : 设 y = f (x) 在区间 [a,b] 上非负 , 连续。 由直线 x = a, x = b ,y = 0 o x a x b x 及曲线 y = f (x) 所围成的图形 称为曲边梯形 , 其中曲线弧称为曲边。 1 曲边梯形面积的求法 y  f ( x) y O a  x 0 x1 x 2 x i  1 xi x n  1 x n b x b] n+1 个分点， (1) 分割 在区间 [a ,上任意插 a  x 0  x1  x 2    x i  1  x i   x n b, 把 [a , b]分成 n 个小区间： [ x i  1 , x i ] ( i 1,2,  n). 每 个小区间的长度 x i  x i  x i  1 ( i 1,2,  n). 2 （ 2 ）近似代替 y  f ( x) y Ai  f ( i )x i ( i 1,2,  , n) A1 A2 Ai An （ 3 ）求和 n A  i 1 Ai O n a  x01x1 2  f ( i )x i xi 1  i xi x n1 nx n b x 图 5-2 i 1 (4) 取极限 x2  max{x i },   0, 1i n n A lim  f ( i )x i  0 i 1 3 2. 变速直线运动的路程 [T1 , T2上 ] 的 ) 设物体作直线运动 , 已知速度 v v (t是时间间隔 连续函数 , 且v ( t ) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程。 匀速直线运动： 路程 = 速度 × 时间 . v ( i ) (1) 分割 T1  t 0  t 1    t i  1  t i   t n T2 , t i  t i  t i  1 T1 i T2 ( i 1,2, , n) (2) 近似代替 s i v ( i )t i (3) 求和 n t0 t1 t 2 ti  1 ti t n  1 t n t n s   i 1 s i  i 1 v ( i )t i n (4) 取极限  max{ t i }, 1i n s  lim  v ( i )t i .  0 i 1 4 n n b T2 s lim  v ( i )t i   v  t  dt . 面积 A  lim  f ( i )x i  a f  x dx. 路程  0  0 i 1 T1 i 1 二 . 定积分的定义 ( 和式的极限 ) 设函数 f(x) 在 [a,b] 上有界 , 在 [a,b] 中任意插入若干个分点 a  x 0  x1  x 2    x i  1  x i   x n b , 把区间 [a,b] 分成 n 个小区间 :[ x 0 , x1 ], [ x1 , x 2 ],  , [ x n  1 , x n ], 各小区间的长度依次为 : x1  x1  x 0 , x 2  x 2  x1 , , x n  x n  x n 1 , 任取一点  i  [ x i  1 , x i ], 作乘积 f   i  x i ( i 1,2, , n), 并作出和 n S   f  i  x i 1 i 1 记  max{x1 , x 2 ,  , x n }, 当   0, 和 S总趋于确定的极限 I , b f  x  dx , 称这个极限为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分 ,记作  a n b 即  f    x  f  x dx  I lim  a 0 i i 1 i (2) 5 a---- 积分下限 , b---- 积分上限 , [a,b]---- 积分区间 . n  f    x i f ( x )的积分和。 i i 1 b b b a a a 注意 :1 、  f  x dx   f  t dt  f  udu b b 2 x dx  u   du a 2 a f ( x ) 在 [a , b] 上可积 . 2、 如果 f ( x )在 [a , b]上的定积分存在 , 称 且定积分与区间 [a,b] 的分法和 i 的取法无关。 问题： f ( x ) 在 [a , b] 上满足什么条件，f ( x ) 在 [a , b] 上一定可积 ？ 定积分存在的两个充分条件 : 定理 1 设f ( x ) 在区间[a , b上连续 , 则 f ( x ) 在区间[a , b]上可积 . ] 定理 2 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有界，且只有有限个间断点 , 则 f ( x ) 在区间[a , b]上可积 . 6 n A  lim  i 1 [ f ( i )]x i 定积分的几何意义  0 y y  f (x) y o A o x a x b n   lim  i 1 f ( i )x i  0 x a x x b x A y  f (x) b b f ( x ) 0,  f ( x )dx  A a f ( x )  0,  f ( x )dx  A a y y  f (x ) A1 x a o A3 c d A2 x b b c d b a a c d x 图 5-6  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  A 1  A2  A3 7 两曲线围成的图形的面积： y A  A1  A2 b  f 1 ( x )dx  a y  f1 ( x) A b a f 2 ( x )dx y  f 2 ( x) o x a x b x 8 1 x 2 dx 例 利用定义计算  0 1 解  f ( x )  x 2  C [0,1]   x 2 dx 0 1 2 x 0 dx与 [0,1]的分法与点  i 取法无关 . i x  , i 0,1,2,  , n, 把 [0,1] n 等份 分点为 , i n 1 x i  x i  x i  1  , i 1,2, , n; n i 取区间的右端点：  i  x i  , i 1,2,  , n; n 2 并做乘积 : f  i  x i  i 2 1  i  1 i2      3 n  n n n n 1 n 2 1 1   求和： f   x  i   n n  1 2n  1  i i 3  3 n i 1 n 6 i 1  n  1 2n  1  6n 2 9 1  , n 1 2 0 x dx 当 n   时，   0. n ( n  1)( 2n  1) 1  2 n  3 6n lim  f  i  x i lim  0 i 1 10 第二节 定积分的性质 中值定理 1 规定  2 a f  x dx 0; a b, b a a b  f  x dx -  f  x dx a  b, b b b a  f  x   g  x dx a f  x dx a g  x dx 性质 1 性质 2 b b b a a  cf  x dx c  f  x dx b c b a f  x dx a f  x dx  c f  x dx 性质 3 注 : 上式对 a  b  c 也成立 c b c b c c (a  c  b) 定积分对积分区间 具有可加性 a f ( x )dx a f ( x )dx  b f ( x )dx c b a c a f ( x )dx a f ( x )dx  b f ( x )dx  f ( x )dx   f ( x )dx 11 性质 4 b b a a 1dx  dx b  a 若 f  x   0,  x   a , b  , 则 性质 5 b  f  x  dx 0  a  b . a 若 f  x   g  x  , x   a , b  , 推论 1 b y y  g x  b f  x  dx   g  x  dx  a  b  . 则 a a 推论 2 b b a a  f  x dx   f  x  dx (a  b). y  f  x O 性质 6 ( 估值不等式 ) f  x  , m  min f  x  , 则 设 M  max x[ a ,b ] x[ a ,b ] b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a 如 x a x b x  a  b. 4 ( x 2  1)dx 17(4  1) 51 6 2(4  1)   1 12 性质 7 ( 定积分的中值定理 ) 若 f  x   C  a , b ,     a , b 使得 b  f  x dx  f   b  a   a  b  a 1 b f ( x )dx  M 证 由性质 6 知 m   a b a 由连续函数介值定理知 :    a ,