高数4-4,5

高数4-4,5内容摘要：

第四节 几种特殊类型函数的积分 一 . 有理函数的积分 二 . 三角函数有理式的积分 三 . 简单无理函数的积分： 1 一 . 有理函数的积分 1. 有理函 数 P  x  a x n  a x n 1    a x  a 1 n 1 n  0 m Q  x  b0 x  b1 x m  1    bm  1 x  bm (1) ( m 和n为非负整数， a 0 , a1 , a n  1 , a n 及b0 , b1 ,  , bm  1 , bm 为实数 , 且a 0 0, b0 0.) x3  3 x2  3 x3 例 2 ，2 ，2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6 假分式 ( n  m ) 真分式 ( n  m ) 2. 真分式、假分式   x2  3 x2  5x  6  5x  3 5x  3  1  2 2 2 x  5x  6 x  5x  6 x  5x  6 x3  3 19 x  27 x  5  2 2 x  5x  6 x  5x  6 2   任何一个有理函数都可化为多项式与真分式之和。 真分式可以化为几个简单真分式的代数和。 x 3 x 3 x 3 例 2  2  x  5x  6 x  5 x  6  x  2  x  3  由代数理论知可分解为 x 3 A B A( x  3)  B( x  2)    2 ( x  2)( x  3) x  5x  6 x  2 x  3 法 1 （比较系数法） .  x  3  A x  3   B  x  2  ( A  B ) x  ( 3 A  2 B )  A  B 1   A  5 , B 6   3 A  2 B  3 法 2. （赋值法）  x  3  A x  3   B x  2  令x 2，得A  5 ; 令x 3， 得B 6.  x 3 5 6    x 2 x 3 x2  5x  6 3 例 1 2 可分解为 x  x  1 1 A B C A( x  1) 2  Bx ( x  1)  Cx     2 2 x  x  1  x  1 x ( x  1) 2 x  x  1 2  1  A x  1  Bx  x  1  Cx 令x 0 , 得A 1; 令x 1，得C 1; 令x 2， 得B  1. 1 1 1 1     2 x x  1 ( x  1) 2 x ( x  1) A B C D 1     又 2 3 x  x  1  x  1   x  1 3 x  x  1 1 A B C D E      3 x x 2  x  1   x  1 2  x  1 3 x 2  x  1 4 例 1 1  2 x 1  x 2 1 1  2 x 1  x 2    可分解为 A(1  x 2 )  ( Bx  C )(1  2 x ) A Bx  C    2 1  2x 1  x (1  2 x )(1  x 2 )   1  A 1  x 2   Bx  C  1  2 x  ( A  2 B ) x 2  ( B  2C ) x  ( A  C ) 1 4 令x  , 得A  ; 2 5 2 2 比较x 项得 : 0  A  2 B  B  5 1 C  比较常数项得 : 1  A  C 5 4 2 1  x 4 1 1 2x  1 1 5 5 5        2 2 5 1  2x 5 1  x2 (1  2 x )(1  x ) 1  2 x 1 x 5 再如： 1 1  2 x 1  xx 22 32  Dx  E Fx  G A Bx  C     2 2 2 3 2 1  x  1  x  1  2x 1  x 由前面的讨论可知，任何一个有理函数都可化为：多项式、 Mx  N A 、 2 的代数和。 n ( x  px  q ) n ( x  a) x 3 求 例1 x 2  5 x  6 dx 解 x 3 5 6  2   x  5x  6 x  2 x  3 x 3 5 6    2 dx   dx x  5x  6  x  2 x  3  5 ln x  2  6 ln x  3  C 6 1 例 2 求 x  x  1 解  1 x  x  1 2 2 dx 1 1 1    2 x  x  1 x 1 1 1 1 1  dx  dx    2 2  x x  1   x  x  1 x  1   1 1   dx   d  x  1  2 x  x  1 1 x  1 d  x  1 x 1 1  C ln x   ln x  1  C ln x 1 x 1 x 1 7 2x  1 2x dx   dx  dx  例 3 求 2 2 2 1 x 1 x 1  2 x 1  x  1 1 1  x 2 dx 1 4 1 1 2x  1 解      2 (1  2 x )(1  x ) 5 1  2 x 5 1  x 2 1 4 1 1 2x  1  dx   dx   dx 2 2 1  2 x  1  x 5 1  2x 5 1 x   4 1 1 1 1 1 1 2    d (1  2 x )   d (1  x )   dx 2 2 5 2 1  2x 5 1 x 5 1 x 2 1 1 2  ln 1  2 x  ln 1  x  arctan x  C 5 5 5 2    1 1  2x   ln  arctan x   C 2 5 1 x  8 注：当被积函数容易分解时，也不必墨守成规非要用待定系数 注： 法或赋值法，只要直接分解就可以。如 1 x3 dx 补充例题 1 ：求  3 x 1  x    1  x3 1  x3  2x3 1 x2 dx   dx   dx  2  dx 解： 法 1  3 3 3 x x 1 x x 1 x 1 x 2 1 2 3 3 ln x   d 1  x  ln x  ln 1  x  C 简单！ 3 3 1 x 3 3 1  x A B Cx  D 法 2 令：    x 1 x 1  x  x2 x 1 x3         通分得 : 1  x 3  A1  x 3   Bx 1  x  x 2    Cx  D  x 1  x  2 4 2 比较 x 的系数得：A 1, B  , C  , D  3 3 3 烦！ 3 1 x 1 2 1 2 2x  2 x 1  x 3 dx x dx  3 1  x dx  3 1  x  x 2 dx   9 x 2 dx 例 4 求 2 x  2x  3 2 2 ( x  2 x  3)' 2 x  2 解 x  2 x  3 是二次质因式， 但 1 1  x  2   ( 2 x  2)  1  2  ( 2 x  2)  3 2 2  1  2 x  2  3 x 2 x 2  2 x  3 dx 2 2 dx x  2x  3  1 2x  2 1 dx  3 dx   2 2 2 x  2x  3 x  2x  3   d  x  1 1 d x2  2x  3   2  3 2 x  2x  3  x  1 2   2  2 1 3 x 1 2  ln x  2 x  3  arctan C 2 2 2   10 A Ax  B 若分解后的有理分式出 现 、 这种部分分式， n n 2 2 ( x  a) x a Mx  N 前面已经解决。 若出现 2 如何解决？ n ( x  px  q ) 2 2 p p Mx  N   2 dx . x  px  q  x    q  , 讨论  2 n ( x  px  q ) 2 4  p2 1 2 p p2  0,  q  ( p  4q )  0, 即 q  令 x  t ,  4 4 4 2  记 p   Mx  N  M  t    N 2  Mp  Mt  N  2 x 2  px  q t 2  a 2 , Mx  N  Mt  b , 2 Mp p 2 , , b N  则 a q  2 4 Mx  N Mt  b  dx  dt   n n x 2  px  q t2  a2      t Mt 2 a 2 n  dt   t b 2 a 2 n  dt 11 t Mt 2  a2  dt   n b t 2 a 2 n  dt 1 当 n 时，如例 4。 当 n  1 时， Mx  N M 1 dt 2 2  x 2  px  q n dx  2 t 2  a 2 n d t  a  bt 2  a 2 M dt   b 2 2 n 1 2