高数4-3

高数4-3内容摘要：

侧向思维法指变换思维的角度、方向， 避免钻牛角尖的思维方法。比如过去的圆珠 笔，写到一定程度之后就会漏油，原因是笔 珠的磨损造成了间隙，人们想了许多办法， 增加笔珠的耐磨性等都不能解决。后来中田 藤三郎发现总是在写到大约两万字的时候开 始漏油，于是把笔芯做得只能容许写一万五 千字，油墨没有了还漏什么？于是，问题彻 底解决。这是侧向思维的典型例子。 1 第三节 分部积分法 1 、公式推导 udv uv  vdu   uv   uv   uv 设u x  及v  x 具有连续导数 , 则 证  uv  uv  uv  则 uv dx uv   vudx udv uv  vdu 例 1 求 x cos xdx 解： 设 x u , v ' dx cos xdx d sin x dv , 即 sin x v . x cos xdx xd sin x  x sin x  sin xdx  x sin x  cos x  C 2 2 、实际操作步骤： 上例中，要凑出 dv ，是个逆向思维的过程，这里试给出一 个“程序”，使思维更加流畅。 （ 1 ）使用第一类换元积分法凑微分（见上节） （ 2 ）如果结果可以用换元法解，则求出原函数；若不能积 出，则试用分部积分公式代入。 （ 3 ）要注意优先凑微分的顺序： 指数函数、弦函数 优先于 幂函数； 幂函数 优先于 对数函数、反三角函数。 如，例 1 中：若先把 x 凑微分，则有： x2 x2 x2 x cos xdx  cos xd ( 2 )  2 cos x   2 d (cos x ) 2 x2 x2 x  cos x   (  sin x )dx  sin x  1 x 2 sin xdx 2 2 2 2 可以看出：最后面的积分与原来的积分属于同一种类型，而 且幂函数因式的次数还增高了，积分结果将难以求出。 3 基本题型Ⅰ 被积函数是幂函数与指数函数或者弦函数的乘积， 应该先将指数函数或者弦函数凑微分。 2 例 2 求 x tan xdx   2 2 2 x tan xdx  x sec xdx   x sec x  1 dx 解：    1 2 1 2  xd tan x  x  x tan x  tan xdx  x 2 2 1 2  x tan x  ln cos x  x  C 2 x 例 3 求 xe dx xdx  解： xe x dx xde x  xe x    e x dx  xe x  e x  C  例 4 求 x 2 e x dx 解  x e dx x de 2 x 2 x  x 2e x  e x 2 xdx  x 2  x 2 e x  2 xe x  e x   C e  x  2 x  2  C 4 基本题型Ⅱ 被积函数是幂函数与对数函数或者反三角函数的乘积， 应该先将幂函数凑微分。 例 5 求 x ln xdx 2 2 x2 x x 1 解 x ln xdx  ln xd  ln x    dx 2 2 2 x 2 2 2 x x x 1 C  ln x  xdx  ln x  2 2 2 4 例 6 求 2 x arctan xdx 2 x 2  x 2 arctan x  解 2 x arctan xdx arctan xdx 1  x 2 dx 2 ( x  1)  1 1   2 2  x arctan x   2 dx  x arctan x   1   dx 2 x 1  1 x   x 2 arctan x   x  arctan x   C 5 例 7* 求 arcsin xdx 解 arcsin xdx x  x arcsin x  1 1  x arcsin x   2 1  x2  1  x dx 1 d 1  x   x arcsin x  2 2 2 2 1  x2 C  x arcsin x  1  x 2  C x2 arctan xdx 例 8 求 2 1 x x2 1   arctan xdx   1   arctan xdx 解  2 2 1 x 1 x    arctan xdx  arctan xd arctan x x 1 2    x arctan x   dx  arctan x 2 1  x2 1 1 2  x arctan x  ln 1  x 2   arctan x   C 2 2   6 基本题型Ⅲ 被积函数是指数函数与弦函数的乘积，可选任一函数凑微分。 例 9 求 e x sin xdx  x x x x e 解 法 1  sin xdx  e d cos x  e cos x  e cos xd x  e x cos x  e x d sin x  e x cos x  e x sin x  e x sin xdx 是不是优先凑微分的顺序出了问题？换过来试一下：    sin xde x 法2 e x sin xdx e x sin x  x e  cos xdx e x sin x  cos xde x e x sin x  e x cos x  e x sin xdx 两种方法都出现了“循环”，移项可以把该积分“解”出来。 1 x x  e sin xdx  e  sin x  cos x   C 2 注意：移项时应该给等式的右边添加任意常数 C 注意： 7 2x 求 e 例 10  cos 3 xdx 解 I  e 2 x cos 3 xdx  1 cos 3 xde 2 x  2 1 2x  e cos 3 x  3 e 2 x sin 3 xdx 2 1 2x 3  e cos 3 x  sin 3 xde 2 x 2 4 1 2x 3 3 2x  e cos 3 x  sin 3 x e  3cos 3 x e 2 x dx 2 4 4 1 2x 3 2x 9  e cos 3 x  e sin 3 x  I 2 4 4   2 2x 3 2x e sin 3 x  C 移项得 I  e cos 3 x  13 13 e ax e cos bxdx  a 2  b 2  a cos bx  b sin bx   C ax e ax e  sin bxdx  a 2  b 2  a sin bx  b cos bx   C ax 8 下面也是出现“循环”的例子。 3 例 11 求 sec xdx  解 sec 3 xdx sec xd tan x   sec x tan x  sec x tan sec x tan x  sec x  sec sec x tan x  sec x tan x   sec 3 2 xd x 2 x  1 dx  x  sec x d x sec 3 xd x  ln sec x  tan x  移项、两边同除以系数，得 1 3 sec xd x  2 sec x tan x  ln sec x  tan x   C 9 例 12 若：I n  x dx 2 a I n 1 证明递推公式 1  1   x2  a2  2 n  1  2na 2  x  2  x  a 2    n '   2x   n n  2 2 x  a    ( 2n  1) I n     n 1 n  N  x 1  xd 2 2 2 2 2 n 2 n x  a  x a  x a  x  2nx 2  x x2  a2   a2  2  dx  2  2n dx 2 n 2 2 n 1 2 n 2 2 n 1 x a  x a  x a  x a  x 1 1 2  2  2n dx  2na dx 2 n 2 2 n 2 2 n 1 x a  x a  x a  解 I n  dx  n      x 2  2  2 nI  2 na I n 1 n 2 n (x  a ) 解得： I n1 1  2na 2  x  2  x  a 2   n   ( 2n  1) I n   10 dx 1 x  I 1  2  arctan  C 2 a a x a 1 x 1 1  I2  2  2  2 I1  2 2 2a x  a 2a 2a x 1 x   arctan   C  2 2 a a  x a 进而可递推出 In 总结：由例 11 、例 12 ：很多不属于基本题型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 总结： 不定积分，根据具体情况可以用分部积分法，使不定积分 变得简单。 11 例 13 求 e x dx  解 令 x t 则 x t 2 , dx 2tdt e x dx 2 te t dt 2e t  t  1  C 2e   3 x cos x  sin x sin x dx 例 14 求 e 2 cos x 3 sin x x cos x  sin x 解 dx e 2 cos x x  x  1  C 分部积分法  e sin x x cos xdx  e sin x tan x sec xdx  xde sin x  e sin x d sec x sin x sec x  sec xe sin x cos xdx  xe sin x  e sin x dx  e e sin x 