高数4-2

高数4-2内容摘要：

廿世纪 50 年代前后，发明创造的性质和 方式发生了较大的变化。 50 年代以前，原理 突破型的发明较多， 50 年代以后，技术组合 型的发明比例明显增加，现代技术开发中，后 者已经占到近 70%. 例如，彩电的发明，涉及 200 多种材料、技术和工艺，没有一样是当时 现开发的。就是说，彩电完全是当时已有发明 的组合。 所以说，组合是一种重要的发明创造技法。 1 第二节 换元积分法 一 . 第一类换元积分法 sin 3 x 3 dx  cos 3 x  C sin 3 xd 3 x 1. 基本公式（ P237 定理 1 ） 设 f ( u)du  F ( u)  C，u  ( x )可导，则 f   ( x ) ' ( x )dx  F   ( x )  C  f (u)du 2. 凑微分 （ 1 ）凑系数 调整系数 例：求 sin 3 xdx 解： sin 3 xdx  u  ( x ) 把 3x 当作 u,“d” 后面凑成 u 1 1  sin udu  (  cos u  C 1 ) 3 3 1 1     sin 3 xd 3 x cos 3 x  C  3 3 补充例题： 1 4x 1 4x 4x e dx  4 e d  4 x   4 e  C , 2x 1 1 a 2x 2x a dx  a d 2x   C   2 2 ln a 2 （ 2 ）凑线性式 调整系数时，只管 a 不管 b. ∵d(b)=0 1 1 5 6 ( ax  b ) dx  ( ax  b ) d ( ax  b )  ( ax  b ) C   a 6a 补充例题 1 1 sin( 3 x  2)dx  3 sin( 3 x  2)d  3 x  2  3 cos(3 x  2)  C 1 1 2 2 sec (2 x  1)dx  2 sec (2 x  1)d (2 x  1)  2 tan(2 x  1)  C 5 1 1  1 1  1 1 x 2  1 dx  2  x  1  x  1  dx  2  x  1 d  x  1  1    d x  1 x  1   1 1 x 1   ln x  1  ln x  1   C  ln C 2 2 x 1 3 （ 3 ）凑微分——逆向思维的程序化 xdx 1 x2 2 1 x2 例： x e dx  2 e dx  2 e  C 说明： a ）凑，是一种逆向思维活动，一般构成教学上的难点， 解决方法是使思维活动程序化。 b ）看被积函数由哪几个因式组成。 c ）把容易积分的因式先积分，积分结果放在微分号“ d” 的后面。如果有常数，则直接放在积分号前面。 d ）把“ d ” 后面的表达式作为 u, 看能否积分。 e ）继续使用其它积分方法。 1 3 x 2 2 2 1 1 3 x 2 2 3 x 2 2 2 例： xe dx  e dx   e d ( 3 x  2)    2 2 3 1 3 x 2 2  e C 6 x2 4 2 补充例 1 ： 求 x 4  x dx 1 1 2 2 2 解： x 4  x dx   4  x dx    4  x 2 d (4  x 2 ) 2 2 1 2   4  x 2 2 3   3 2 C dx 补充例 2 ：求  2 cos x (1  tan x ) dx d (tan x ) 1 1 解：  2  2  dx   cos x (1  tan x ) cos x (1  tan x ) 1  tan x d (1  tan x )  ln 1  tan x  C  1  tan x dx 补充例 3 求： x ( 2  3 ln x ) dx 1 1 d (ln x ) 1 d ( 2  3 ln x ) 解：    dx  2  3 ln x  3  2  3 ln x x 2  3 ln x x ( 2  3 ln x ) 1  ln 2  3 ln x  C 3 5 4 sec  xdx . 补充例 4 ：求 4 2 2 2 sec xdx  sec x  sec xdx  (tan x  1)d (tan x ) 解：   1  tan 3 x  tan x  C 3 3 求 sin 补充例 5 ：  xdx. 解： sin 3 xdx  sin 2 x sin xdx  (1  cos 2 x )d (cos x ) 1  (cos x  1)d (cos x )  cos 3 x  cos x  C 3 说明 :(1) 凡是 sinx 、 cosx 的奇次幂，都可以采用这种分出一次 因式、将剩余部分用平方关系变形的方法。 2 (2) 类似的：tan m x sec 2 n xdx则可以先分出 sec 2 x凑微分。  m 2n m 2 n 2 2 tan x sec xdx  tan x sec x  sec xdx    tan m x（1  tan 2 x ) n  1 d (tan x )  6 dx x arcsin  C（a  0） 补充例 6 ： 证明 2 2 a a  x  x d  dx dx x a 证：      arcsin  C 2 2 a a2  x2  x  x a 1   1   a a 常用的凑微分公式： 1 a 0 f  ax  b dx  a f  ax  b d  ax  b  1 2 2 2      f ax  b xdx  f ax  b d ax  b a 0   2a 1   1        f ax  b x dx  f ax  b d ax  b a 0    a 1 1 1 1 f  x  x 2 dx  f  x  d  x  1 f  ln x  x dx f  ln x d  ln x  7 1 e dx     f e x x    x x f e d e   0 f  sin x  cos xdx f sin x d sin x  f cos x  sin xdx  f  cos x d  cos x  1 dx  f  tan x d  tan x  2 cos x 1 2 f cot x  csc xdx f cot x  sin 2 x dx  f cot x d  cot x  2   f tan x sec xdx  f  tan x   f sec x  sec x tan xdx f sec x d sec x  f arcsin x  1 2 dx  f  arcsin x d  arcsin x  1 x 1 f arctan x  1  x 2 dx f arctan x d arctan x  8 练习： 1  1 dx  1  1 d 1  3 x   1 2 1  3 x  C 1  3x 3 1  3x 3  2 x 2 x 3  1dx  1  x 3  1d x 3  1  1 x 3  1  C 3 3 2x  6 1  3  2 dx  2 d x 2  6 x  13 ln x 2  6 x  13  C x  6 x  13 x  6 x  13  2  x2 1  1 1 x3 2 d x 2  1 d x  1   x  1   4  dx    2 1  x2 x  1 1  x2       cos t  5        dt 2cos t d t 2 sin t  C t  1 1ex  ex ex  6  x dx  dx   1  x x 1e 1e 1  e   1 x  dx  x   d e 1 x 1e    9 课本例题： 例 5 求 tan xdx 解 cot xdx ln sin x  C sin x 1 tan xdx  dx    cos x cos x d cos x   ln cos x  C 1 dx 例 6 求 2 2 a x 1 1 1 1 1 x 解 2 d( ) dx  2  dx    2 2 2 a a a x a  x  x 1  1  a 1 x a   arctan  C a a x 例 7 求 ch dx a x x x 解 ch x dx a ch d ash  C a a a a 10 例 8 求 解  1  a 1 dx (a  0) a2  x2 1 dx 2 2 a  x 1  x 1   a 1 2 dx x  d 2 a  x 1   a  x arcsin   C a 1 dx 例 9 求 2 2 x a 解 1 x 2  a 2 dx 1  dx ( x  a )( x  a ) 1  1 1      dx 2a  x  a x  a  1 1  ( dx  2a x  a 1 x  a dx ) 1  ln x  a  ln x  a   C 2a 1  x a    C   ln 2a  x  a 