高数3-4,5,6

高数3-4,5,6内容摘要：

心理学家研究的结果： 按记忆能力的强弱来分，黄金时段 是 20-40 岁；其次是 40-65 岁和 12-20 岁； 12 岁以下较差。强迫 12 岁 以下的少年记忆大量内容是不妥当的。 也有的心理学家认为： 若以 18-35 岁的记忆能力为 100 ，那 么， 36-60 岁为 95 ； 60-85 岁为 8085 。即：年龄大，对记忆的影响并不大。 1 第四节 函数单调性的判定法 B A y  f  x y  f  x A B a x b x  (a , b ), f ' ( x )  0 x a b x  (a , b ), f ' ( x )  0 问题： 反过来，若 x  (a , b), f ' ( x )  0, f ( x)  ？ 若 x  (a , b), f ' ( x )  0, f ( x)  ？ 2 函数的单调性的判定法 1若x   a , b , f  x   0, 则f  x 在 a , b 上单调增加.  2若x   a , b , f  x   0, 则f  x 在 a , b 上单调减少. 证 1x1 , x 2   a , b , 且x1  x 2 ,  f ( x )  0  f  x1   f  x 2   f   x1  x 2   0 ( x 1    x 2 ) 同样的方法可证（ 2 ）。 例 1 判定y  x  sin x在 0,2  上的单调性 . 解 x   0,2 , y  1  cos x  0.  y  x  sin x在 0,2  上单调增加。 3 例 2 讨论y  e x  x  1的单调性 解 定义域   , , y   e x  1, x  0时y   0, x    ,0  , y   0, f  x 在(  ,0]上单调减少 , x   0, , y   0, f ( x )在[0,)上单调增加 . 例 3 讨论 y 3 x 2 的单调性 解 y y 3 x 2 定义域   , , 1 2 2 3 y  x  3 , 3 3 x o x  0时y 不； x x  0时， y   0； f  x 在(  ,0]上单调减少 , x  0时， y   0. f ( x )在[0,)上单调增加 . 4 结论：若函数在其定义域上连续，除有限个点导数不存在的点外， f ( x) ) 导数存在且连续，则用 f ' ( x )  0的根及 f ' ( x不存在的点划分 的定义域区间， f ( x )在这些部分区间上的单调性不变。 划分函数 f ( x ) 的单调区间的步骤 : （ 1 ）确定函数定义域； （ 2 ）求 f ' ( x ); （ 3 ）令 f ' ( x )  0 , 求出它的根 xi; （ 4 ）确定f ( x ) 的间断点、 f ' ( x )不存在的点 xk ； （ 5 ）用 xi 、 xk 把函数的定义域划分为单调区间； （ 6 ）把以上结果制成表格。 5 3 2 例 4 确定f  x   2 x  9 x  12 x  3的单调区间 解 定义域   , f  x   6 x 2  18 x  12  6( x  1)( x  2) 令y   0, 得x 1,2; x 1,2将定义域   ,划分为三个区间  ,1 , 1,2 ,  2, . x f  x   ,1  1 1,2 2  2, 0  0  f  x 则f  x 在(  ,1], [2,)上单调增加, 在 1,2 上单调减少 . 6 例 5 讨论 y  x 3的单调性 解 定义域   , y   3x 2  0 （除去 x  0）  f  x 在  , 上单调增加. 结论： 若 f ' ( x )在某区间内的个别点处为零， 在其余各点 均为正（或负）时， 则 f ( x )在该区间上仍是单调增加（或单调 减少）的。 又例 讨论y  x  cos x的单调性 解 定义域   , y  1  sin x  0  , k 0,1,2, 时） 2  f  x 在  , 上单调增加. （除去 x 2k  7 利用单调性证不等式 1 2 x  3 . 例 6 证明 x  1时， x 1   令 f x  2 x  ( 3  ), 证 x 则f  x   1 x  1 1  ( x x  1). 2 2 x x  在 1,内，f  x   0  f  x 在[1,)上单调增加,  x  1时, f  x   f 1  0 即x  1时， 2 x  3 1 . x 8 试证方程 只有一个实根 提示： 设 sin x  x f ( x ) sin x  x , x 0 是一个根 f ' ( x ) cos x  1 0 f ( x)在（，）上单调增加    加研25页3题 9 第五节 函数的极值及其求法 极值定义 a x1  y y  f (x) o x2 x4 x5 x6 b x  若U  x 0 ,  , x  U  x 0 ,  , f  x   f  x 0   f  x   f  x 0  , 则称 f  x 0 为极大 ( 小 值， x 0为极大 ( 小 值点. ) ) f ( x 2 )、f ( x 5 ) 极大值， x 2、x 5 极大值点。 极小值点。 f ( x1 )、f ( x 4 )、f ( x 6 ) 极小值， x1、x 4、x 6 10 极大值 极值  极小值 极大值点 极值点 极小值点 y  f (x) y a x1 o x2 x4 c x5 d x 6 e b x 注： （ 1 ）函数的极大值和极小值是局部性的。如：f ( x 2 )  f ( x 6 )。 （ 2 ） 函数的极值只能在区间内部取得取得。 （ 3 ）若函数在某区间内部有唯一的极值点，则极大值一定是 最大值，极小值一定是最小值。 11 y a x1 y  f (x) o x 2 x3 x4 x5 x6 b x 设f  x 在x 0点可导， f  x 0 为极值，则 f  x 0  0. 定理 1 （必要条件） f ' ( x )  0 的实根）。 驻点：使导数为零的点（即方程 驻点： 可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 问题：怎样才能从驻点中找出极值点？ 12 充分条件 定理 2 （第一充分条件） (1)在x 0 左侧附近， f  x   0；在x 0 右侧附近 f  x   0， 则f  x 0 为极大值 . ( 2)在x 0 左侧附近， f  x   0；在x 0 右侧附近 f  x   0， 则f  x 0 为极小值。 （3）如果当 x取x 0 左右两侧邻近的值时， f ' ( x )恒为正或恒 为负，那么函数 f ( x )在x 0 处没有极值。 定理 3 （第二充分条件）设f  x 0  , f  x 0   0, 则 1 f  x 0   0时, f  x 0 为极大值;  2 f  x 0   0时, f  x 0 为极小值 . 13 定理 3 （第二充分条件）设f  x 0  , f  x 0   0, 则 1 f  x 0   0时, f  x 0 为极大值;  2 f  x 0   0时, f  x 0 为极小值 . ' ' f ( x )  f ( x0 ) f ( x0 )  lim 0 x  x0 x  x0 分析： '' ' ' f ( x )  f ( x0 ) 0 x  x0 ' ' f ( x0 ) 0 ' f ( x) 0 x  x0 ' x  x0 , f ( x )  0; x  x0 , f ( x )  0 f ( x0 ) 是极大值 14 例 1 求f  x   x 3  3 x 2  9 x  5的极值 . 解 1 f '  x   3 x 2  6 x  9  3( x  1)( x  3)  2 x1   1, x 2  3时，y  0 法1  3 x在  1的左侧附近时， f  x   0    f   1 10为极大值。 x在  1的右侧附近时， f  x   0  x在3的左侧附近时， f  x   0    f  3    22为极小值 . x在3的右侧附近时， f  x   0  法2  3 f "  x  6 x  6 f "   1   12  0 f "  3 12  0  f   1 10为极大值 .  f  3  22为极小值 . 15 2 3 例 2 求f  x  ( x  1)  1的极值 . 解 1 f '  x  6 x( x 2  1) 2  2 x1   1, x 2 0, x 3 1时，y  0  3 f "  x  6( x 2  1)(5 x 2  1) f  0   0,  f  0   0为极小值 . f "  1  0，法二失效，用法一 ! x在  1的左侧附近时， f  x   0 x在  1的右侧附近时， f  x   0 x在1的左侧附近时， f  x   0 x在1的右侧附近时， f  x   0