高数3-2,3

高数3-2,3内容摘要：

学会从概貌开始。 比如拼图游戏，如果你事先 看了结果，你会很快拼出来； 但是，如果你根本不知道结果是 什么，难度就会成百倍的增加。 当然，拼图以外的其它学习 也是这样。 1 第二节 洛必达法则 0  1. 未定式： , 0  若当 x  a (或x  )时，两个函数 f ( x )与F ( x )都趋于零 f ( x) 或都趋于无穷大，那么极限 xlim 可能存在、也可能不  a F ( x) ( x ) 存在， 通常把这种极限叫做未定式。 0 型未定式 0  型未定式  sin x ln x ; lim 2 等。 如 lim x 0 3 x x 1 x  1 tan x 4x 2 ; lim 如 lim 等。  x  x 2  1  x  0 ln( x  ) 2 2 2 2. 洛必达法则 设：（1）lim f ( x ) lim F ( x ) 0 0 （ 型） x a x a 0 （2）在 a的去心邻域内 f ' ( x )、F ' ( x )存在，且 F ' ( x ) 0 f '( x) （3） lim  A（A为有限数或者无穷大） x a F ' ( x ) f ( x) f '( x) 则： lim lim （  A） x a F ( x) x a F ' ( x ) 注意： （ 1 ）定理对于其它的极限过程也成立，只是要把定理叙述中 的区间作相应的变换。 （ 2 ）定理条件中，两个函数的极限同是无穷大时，定理依然  （称 型）  成立。  3另外还有其他类型的未 定式：0 型、  型、0 0 型、1 型、  0型各种未定式，也可以 用洛必达法则求极限。 3 3. 洛必达法则的证明 f ( x) 证 由于 lim f (a ) 及 x a F ( x ) 与 F (a ) 无关， 可以假定 f ( a )  F (a )  0,  （  a  ） x 由条件（ 1 ）、（ 2 ）知，f ( x )及 F (x ) 在 a的某一邻域内 是连续的。 设 x是这邻域内的一点， 则在 x 及 a 为端点的 区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有 f   f  x f  x  f a   F  x F  x  F a F   (在x与a之间）， f  x f   f   令  x lim f  x   lim  lim  lim x  a F  x  x a F  x  x  a F     a F   f '( x) 0 仍属 若 型未定式， 且这时 f ' ( x ) 及 F '  x  能满足 F '( x) 0 定理中 f ( x ) 及 F (x ) 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则， 4 f  x f  x  f "( x) lim  lim  lim x a F  x  x  a F  x  x a F "( x ) 即 4. 洛必达法则求极限举例： x  sin x  0  例 1 求 lim   x 0 x3  0 解 sin x 1 1  cos x x  sin x  lim  lim lim 2 3 x 0 6 x x 0 x 0 6 3x x x3  3x  2  0 例 2 求 lim 3   x 1 x  x 2  x  1  0 3x2  3 x3  3x  2 lim 2 解 lim 3 2 x 1 x  x  x  1 x 1 3 x  2 x  1  0    0 6x 3  lim  x 1 6 x  2 2 5   arctan x 0  例 3 求 lim 2   x   1  0 x 1    arctan x 2 2 x 1  x 2 解 lim  lim  lim 2 1 x   x   x   1 1 1 x  2 x x ln x  n  0 例 4 求 xlim   x n       1 ln x 1 x  lim 解 xlim  lim 0   x n x   nx n x   nx n  1   xn  n为正整数 ,   0    例 5 求 xlim  x   e   n 2 xn nx n 1   n n  1 x   lim x  lim 解 xlim  x   e x x   e x     e n! n  1 x n n  lim n x  0  n为正数 ? 如n 1.5   lim  x x      e x    e 6 x  时，y e x    0 , y  x    0 , y ln x都是无穷大 , 但增大速度不同， e x 最快， x  次之， ln x与前两者比较最慢。 0  0 其它未定式 0 、   、0 、1 、  : 例 6 求 lim x n ln x  n  0  0  x  0 1 n  x  ln x x 0  lim x n ln x  lim  n  lim 解 xlim  n  1 x  0 x  0  nx x  0 x  0 n  例 7 求 lim  sec x  tan x       x 2 sin x   1  解 lim  sec x  tan x   lim      cos x cos x  x x 2 2 1  sin x  lim  cos x x 2  cos x 0lim      0x  sin x 0 2 7 例 8 求 lim x x x  0 解 设y  x x , ln y  x ln x . lim ln y  lim x ln x  0 x  0 x  0 ln y  lim x x  lim y  lim e ln y  e xlim  0 1 x  0 x  0 x  0   或 lim x x  lim exp x ln x  exp lim x ln x 1 x  0 x  0 ex x  0 又记作 exp x  幂指函数求极限的基本 方法： 由对数基本公式和指数 函数的连续性 lim f ( x ) lim exp ln f  x   exp lim ln f  x   x  x  x  8 应用洛必达法则求极限，还应当注意以下情况： （ 1 ）不符合洛必达法则的条件，则不能用洛必达法则求极限。 不是未定式！ 不符合条件（ 1 ） 3x 3 lim lim 1 x 1 3 x  1 x 1 3 x  cos x 1   lim lim 1  cos x  1  0 1 x  x  x x   但是，用洛必达法则计 算则有 x  cos x lim lim 1  sin x . x  x  x lim 1  sin x 不存在！ x  条件（3）不满足！ f '( x) f ( x) lim 不存在，不能说明 lim 不存在。 F '( x) F ( x) 也许用其它方法能够求 出极限。 9 （ 2 ）用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。     x2 1  x2 1 x x2 1 lim  lim  lim  lim  x   x   x   x x x x 2  1 x     x2 1  lim x   x x2 1 1 事实上，lim  lim 1  1 2 2 x   x   x x 哈哈！洛必达先生 （ 3 ）与其它求极限的方法综合运用，以简便为原则。 在翻筋斗 例9 求 lim x 0 tan x  x x 2 sin x cos 3 x  0    0 tan x  x tan x  x lim 解 x 0 2 lim x sin x cos 3 x x  0 x 3  x  0, sin x cos 3 x ~ x  sec 2 x  1 tan 2 x 1  lim  lim  2 2 x 0 x 0 3x 3x 3 10 第三节 泰勒公式 用简单函数（多项式）近似表示复杂函数 如：当 x 很小时，e x 1  x , sin x  x , ln 1  x   x f  0  P  0, f  0   P  0 “ 神州 6 号”若用此公式进行 x的高阶无穷小） 精确度不高（仅仅是近似计算，费俊龙、聂海胜 不足之处  还能回到地球吗？ 不能估算误差 问题： 问题 设函数 f ( x )在含有 x 0的开区间内具有直到 (n+1)阶导数， ) n 次多项式 试找出一个关于 ( x  x 0的 2 n  x)  pfn(x a 0  a1  x  x 0   a 2  x  x 0     a n  x  x 0  （ 1 ） 来近似表达 f ( x ), 要求： n f ( x )  p ( x )   ( x  x ) n 0 ①  ②  给出误差的具体表达式。 11 2 n f ( x ) a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 )  ...  an ( x  x0 )  pn ( x ) 假设 p n  x  在 x 0处的函数值及它的直到 n 阶导数在x 0 处的 值依次满足 f  x 0   p n  x 0 , f  x 0   pn   x 0 , f  x 0   p n 