高数3-1

高数3-1内容摘要：

蒙特利尔精神病学院的怀特 · 佩菲 尔德博士用弱电流刺激法证实：我们 曾经认识的事物，始终都存在于我们 的大脑之中 , 只是当我们需要时，往往 不能有效地把它提取出来。也就是有 人所说的“垃圾箱理论” 故，记忆的关键在“忆”不在“记” 1 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 引理 罗尔定理 方程根的判定 拉格朗日定理 柯西中值定理 几何意义 有限增量公式 函数的单调性 单调区间 2 引理 ( 费马定理）：若函数 y=f(x) （ 1 ）在 x0 的某邻域内有定义 且在 x0 取得最值；（ 2 ）在 x0 处可导。则 f '(x0)=0. 证明思路 证：不妨设 f(x0) 是 x0 某邻域内的最大值 保号性定 理 x  0 时  不妨设 f(x0) 最大  f ( x   x )  f ( x )  0  0 0 x  0 时  f ( x 0  x )  f ( x 0 ) f  ' ( x 0 ) 0 f  ' ( x 0 ) 0 f  ' ( x 0 )  lim 0 x  0  x f ( x 0  x )  f (xx0 ) 0 f  ' ( x 0 )  lim 0 x  0 x 而在 x 0点f ( x )可导，必有 :x  0 f  '( x0 )  f  '( x0 ) 故 f ' ( x 0 ) 0 x0 处可导 f -’(x0)=f +’(x0) f ’(x0)=0 3 一、罗尔定理 C y 条件：1若f  x 在 a , b 上连续; B A  2在 a , b 内可导;  3  f  a   f  b . 结论： 则至少有一点    a, b ，使得 a  O b x f    0 注意： （ 1 ）条件并非缺一不可； （ 2 ）罗尔定理的条件充分而非必要。 证明的关键是： ξ 是区间的内点； 。 a b 4 条件：1若f  x 在 a , b 上连续; 引理 ( 费马定理） ：若函数 y=f(x) （ 1 ）在 x0 的某邻  2在 a , b 内可导;  3 f  a   f  b . 结论：则至少有一点    a, b ， 使得 f    0 M≠m 证明思路 : 取得最值；（ 2 ） 在 x0 处可导。则 f '(x0)=0. f(a)=f(b) M=m f(x)=C 域内有定义且在 x0 M,m 不可能都在端点取得， 设 M 由区间内某点取得 (a,b) 内任意点可为 由引理可得结论 5 二、拉格朗日中值定理 y y  f  x C 条件：若f  x 在 a , b 上连续， y  L x  f  x 在 a , b 内可导， 结论：至少有一点    a, b ，使得 f  b   f  a   f   b  a  A O B f (b )  f (a )  a  b x f  b  f  a  b a f b  f a  f    0 b a AB 的方程为： f  b  f  a   x  a y  f a   b a 或： f b  f  a   x  a L x   f  a   b a   x   f  x   L x  在  a, b上满足罗尔定理的条件，且 结论等价于： f      x   f  x   f  b  f  a  b a 6 证 构造函数：   x   f  x   L x   f  x   f  a   显然  (a )  (b) 0 f  b  f  a  ( x  a) b a f (b)  f (a ) 且  '  x   f '  x   L'  x   f '  x   b a   x 满足罗尔定理的条件 则必然   (a, b), 使得     f    L   f    f b  f a  0 b a f b  f a  b a 即 f    所以 f  b   f  a   f '    b  a  证毕 7 拉格朗日中值公式的其它形式 f ( x  x )  f ( x )  f ' ( )x 在x与x  x之间 或 y  f ' ( )x 在x与x  x之间 或 f ( x  x )  f ( x )  f ' ( x  x )x (0    1) 注意：函数的微分是增量的近似公式 0    1, y dy  f ' ( x )dx 可以理解为“不到一个 ” 点 x  x则可以理解为 其中， x 在区间的端点取值， dx 则要很小。且 f ’(x) 不为零。 “给 x加上不到一个 x” 而拉格朗日增量公式则是一个精确公式 自然，这点落在 y  f ' ( )x 区间( x , x  x )内部 其中， 在区间的内部取值， 不要求 x（即： dx）很小，只要是有限量 就行。 而且，f ' (  )也可以等于零。 因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式 8 若在区间 I上f  x  0, 则f  x 为常数. 证 x1 , x 2  I  x1  x 2  , 则 f  x  在  x 1 , x 2  上满足拉格朗日定理的条件 定理 f  x 2   f  x1   f   x 2  x1  0,  x1    x 2 . f  x1   f  x 2   f ( x ) C 9 三、柯西中值定理 条件： 若f  x 及F  x 满足： 1在 a , b 上连续，  2在 a , b 内可导，  3x   a , b , F  x  0, 结论：则至少有一点    a, b ，使得 f b  f a  f    F  b   F  a  F   10 柯西定理的几何意义 设曲线弧 AB 由参数方 程  X F  x   Y  f  x   a  x b  确定，其中 x为参数。 Y  F   , f    C  F  b , f  b   B  F  a , f  a    A O F ( ) 则曲线上任一点（ X,Y ） 处的切线的斜率为： dY f  x   dX F  x  X f (b )  f (a ) 弦 AB 的斜率为： F (b )  F (a ) 假定点 C 对应于参数 x  ,那么曲线上点 C 处的切线平行于 AB 可表示为 dY f   f (b)  f (a )   dX x  F   F (b)  F (a ) 11 P14 注意： （ 1 ）定理中的 f’() ， F’() 是在同一点处的导数值，所以 下面的证明是错误的： 由定理的条件可知 f ( x )、F ( x )都满足拉格朗日定理的 条件 故     a , b 使 f (b )  f (a )  f ' ( )( b  a ) F (b )  F (a )  F ' ( )( b  a ) 两式相除得到定理的结 论。 因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点 . （ 2 ）若 F(x)=x ，则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日 定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。 柯西定理则是拉格朗日定理的推广 。 （ 3 ）柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。 12 证： 由拉格朗日中值定理：    a , b , 使得 : F (b)  F (a )  F ' ( )(b  a )  对x  (a，b) 已知F ' ( x ) 0  F ( b )  F ( a ) 0 引入辅助函数： f (b)  f (a )  F ( x )  F ( a )  ( x )  f ( x )  f (a )  F (b)  F (a )  ( x ) 满足罗尔定理的全部条件，且： Y  F    , f    f (b)  f (a ) C  '( x)  f '( x)  F '( x) F (b)  F (a ) 由罗尔定理，至少存在一点 ∈ （ a ， b ） ，  F  a , f  a    使  ' ( ) 0, A f (b)  f (a ) f ' ( )  F ' ( ) 0 O F (b)  F (a ) F ( ) 于是： f (b)  f (a ) f ' ( )  F (b )  F (a ) F ' ( )  F  b , f B X 13 四 . 例题 :以下例题要记录   5  例 验证罗尔定理对函数 y  ln sin x 在区间  ,  上的正确性。 1 6 6    5   5  解：函数 y  ln sin x在  , 上连续， 在 , 内可导，  6 6  （函数 y ln sin x是初等函数， 且当 6 6    5  x , 时， sin x  0,  6 6  cos x   5  即  , 是 y  ln sin x定义域内的一部分； y'  sin x cot x .) 6 6   5 1 ln . 且ln sin ln sin 6 6 2 cos x 令 y'  cot x 0, sin x 即     5  , 2 6 6