高数2-7，8

高数2-7，8内容摘要：

微分的定义 函 数 的 微 分 微分的几何意义 基本初等函数 的微分公式与 微分的运算法则 基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则 微分在近似计算中的应用 微分的近似计算 误差估计 1 第七节 函数的微分 一 . 微分的定义： 1. 实例——函数增量的构成 正方形金属薄片，因受 热 , 边长由 x0变到x0  x , 此时面积改变了多少？ 解：正方形边长与面积 的函数关系为 x0 x x 0 x 2 x x A  x02 x 0 x x0 A x2 当边长增量为 x时，面积增量为 A ( x 0  x ) 2  x 02 2 x 0 x   x  2 函数的增量由两部分构成： 1、等式右边第一项， x的线性式，是函数增量 的主要部分。 2 2、第二项  x  ，当 x  0时，是 x的高阶无穷小 . 2 2 、微分的定义 定义 设函数 y=f(x) 在某区间内有定义， x 0及 x 0  x在这 区间内，如果函数的增量 y  f ( x 0  x )  f ( x 0 ) 可表示为  y  A  x  o(  x ) （1） 其中 A 是不依赖于 x 的常数，而 o( x ) 是比 x 高阶无穷小， 那么称函数 y  f ( x ) 在点 x 0 是可微的，而 Ax 叫做函数 y  f ( x )在点x 0 相应于自变量增量 x 的微分， 记作 dy ，即： dy  Ax . 若y  Ax   ( x ), 则称dy  Ax为函数的微分 . Ax：称为 y的线性主部，即 dy。 x 很小时， y dy 3 3 、问题：函数可微的条件是什么？ A ? 设函数 y  f ( x ) 在点 x 0可微 , 则有 (1) 成立，即  y  A  x  o(  x ) 等式两端除以 x , 得 y o( x ) A  . x x 于是 , 当x  0时 , 由上式就得到 o x    y  lim  A    A. f  x0   lim x  0 x x  0 x   因此 , 如果函数f ( x ) 在点 x 0 可微，则 f ( x )在点 x 0也一定可导 , 且 A  f ( x 0 ). y  f ( x 0 )存在 , 反之 , 如果 y  f ( x ) 在 x可导 , 即 lim 0 x  0 x 根据极限与无穷小的关系 , 上式可写为 4 则 y  f ( x 0 )  ，（x  0,   0） x y  f ( x 0 )x  x . 因x o（x） , 且f ( x 0 )不依赖于 x , 故上式相当于 (1) 式 , 则 f ( x ) 在点 x 0 可微。 4. 函数可微的充要条件： 函数y  f ( x )在x 0 处可微  f ( x )在x 0 处可导, 且A  f ' ( x 0 ). 函数在任意点的微分 , 称为函数的微分 , 记作dy或df ( x ), 即 dy  f ( x )x . 如函数 y cos x 的微分为 dy (cos x )' x  sin xx 显然，函数的微分 dy  f ( x )x 与 x 和 x 有关。 5 5 、微分的几何意义 T y N P yf(x) O M0 x0 dy y Q x x0  x x 几何意义 : y是曲线 y  f ( x )上点的纵坐标的增量时 ， dy就是曲线的切线上点的 纵坐标的相应增量。 当 x很小时， dy y . 6 例 1 求函数 y  x 2 在x 1和x 3处的微分。 2 y  x 在x 1处的微分为 解 函数 dy ( x 2 ) | x 1 x 2x; 在x 3处的微分为 dy ( x 2 ) | x 3 x 6x 3 y  x 当x 2 , x 0.02时的微分 . 例 2 求函数 解 先求函数在任意点的微分 dy ( x 3 )x 3 x 2 x . 再求函数当 x 2 , x 0.02时的微分 dy x 2 x 0.02  3 x 2 x x 2 x 0.02 3 2 2 0.02 0.24. 7 通常把自变量的增量称为自变量的微分 . 记作 dx . dx x 即 则函数 y  f ( x) dy  f ( x 0 )dx . 的微分又可记作： dy 从而有：  f ( x 0 ). dx 这表明 , 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数 . 因此 , 导数也叫“微商” . 导数（微商）即微分之商。 8 二 . 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1. 基本初等函数的微分公式 导数公式  x   微分公式  x   1 ,   d x   x   1 dx , sin x  cos x , d  sin x  cos xdx ,  cos x    sin x , d  cos x   sin xdx ,  2  tan x  sec x ,  cot x    csc 2 x ,  sec x   sec x tan x ,  csc x   csc x cot x , a  x   e  x x a ln a , x e , d  tan x  sec 2 xdx , d  cot x   csc 2 xdx , d  sec x  sec x tan xdx , d  csc x   csc x cot xdx ,   d  e  e d a x a x ln adx , x x dx , 9  log a x   1 , x ln a  ln   1 , x 1  arcsin x   , 1  x2 1  arccos x   , 2 1 x 1  arctan x   2 , 1 x 1 d  log a x   dx , x ln a 1 d  ln x   dx , x 1 d  arcsin x   dx , 2 1 x 1 d  arccos x   dx , 1  x2 1 d  arctan x   dx , 2 1 x 1  arc cot x   . 2 1 x 1 d  arc cot x   dx . 2 1 x   2. 函数的和、差、积、商的微分法则 10 函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则  u v  u v , d  u v  du dv ,  Cu  CuC是常数 ， d  Cu  Cdu C是常数 ，  uv   uv  uv , d  uv  vdu  udv ,  u uv  uv     v 0 .    2 v v  u  vdu  udv  v 0  . d   2 v v 3. 复合函数的微分法则——微分公式的形式不变性。 设y  f ( u), u  ( x )都可导, 则复合函数 y  f [ ( x )]的微分为 : dy  y x dx  f ( u) ( x )dx . du  ' ( x )dx 或写为： dy  f ( u)du或dy  y u du 由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式 dy  f ( u)du 保持不变 。这一性质叫做微分形式不变性。 11 4 、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且 可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以 得到函数的导数。 dy 求： dy , . 例 3 ： y cos 2 x dx dy d (cos 2 2 x )  2 cos 2 xd (cos 2 x ) 2  2 cos 2 x  sin 2 xd ( 2 x )  2 cos 2 x (  sin 2 x ) 2 dx   2 sin 4 xdx dy   2 sin 4 x . dx 12 利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤： 1 、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到 dy 、 dx 。 2 、分别按照 dx 、 dy 合并同类项。 得到 g1(x,y) dy = g2 (x,y) dx 3 、 求得导数： 或微分 dy g 2 ( x , y )  dx g1 ( x , y ) g 2 ( x, y) dy  dx g1 ( x , y ) 13 例 4 y sin( 2 x  1), 求 dy . 解 把 2x+1 看成中间变量 u ，则 dy  d (sin u)  cos udu  cos( 2 x  1)d ( 2 x  1) cos( 2 x  1) 2dx  2 cos( 2 x  1)dx . 在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。 x2 例 5 y ln(1  e ), 求 dy .  解 dy d ln 1  e  e x2 1e 1  1  e d 1  e  1  e x2 x2 1 2 xdx  x2 x2 2 xe x2 1e x2 x2 x2   e d x 2 dx . 14 1 3 x cos x , 求 dy . 例 6 y e 解 应用积的微分法则得： dy d (e 1 3 x cos x ) cos xd (e 1 3 x )  e 1 3 x d (cos x )  cos x e 1 3 x   3dx   e 1 3 x   sin