高数2-6
高数2-6内容摘要：
第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的 函数的导数 相关变化率 直接求导法 隐函数的导数 隐函数的显化 对数求导法 参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1 第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的 函数的导数 相关变化率 一 .1 、隐函数的导数 对由方程 F ( x , y ) 0确定的函数 y f ( x )求导数， 可以将方程的两边分别 对x求导数，然后把 y' 解出来。 例 1 求由方程 e x 2 y xy 1确定的隐函数的导数 y' ( 0 ,0 ) . 解： 方程两边对 x求导数： e x 2 y (1 2 y ' ) y xy ' ( 注：z e x 2 y 是由 z e u 及 u x 2 y( x ) 复合而成的。） ( 2e x 2 y x ) y ' y e x 2 y y ' ( 0 , 0 ) 1 . 2 y e x 2 y y ' x 2 y 2e x 2 x2 y2 3 1在点（2， 3）处的切线方程。 例 2 求椭圆 16 9 2 解 由导数的几何意义知道 , 所求切线的斜率为 k y | x 2 . x 2 dy y 0. 把椭圆方程的两边分别对 x 求导得 : 8 9 dx dy 9x 从而， . dx 16 y dy 3 当x 2, y 3 , 代入上式得 dx 2 x 2 3 y 3 2 3 . 4 3 3 3 ( x 2). 于是 , 所求切线方程为 y 2 4 即： 3 x 4 y 8 3 0. 3 2 、对数求导法 应用于积、商、幂以及“幂指”形式的函数 应用步骤： （ 1 ）对 y=f (x) 两边取对数 : ln y ln f x （ 2 ）按照隐函数求导法对上式的两边求导数，等式的右边 利用对数性质展开。 1 y ' （ln f ( x )的展开式） ' y ln f ( x )展开式 ） （ 3 ） y ' y（ 注：待应用熟练后，可以直接由（ 3 ）求导，叙述为： 注： “由对数求导法 y ' y（ln f ( x )展开式）' ” 4 例 3 设 y ( 3 x 1) 5 3 x 1 x 2 求 y' 解（一）： 两边取对数得： 5 1 1 ln y ln( 3 x 1) ln( x 1) ln( x 2) 3 2 2 两边对 x 求导得： 1 5 1 1 1 1 1 y 3 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2 则 1 1 1 1 1 5 y y 3 2 x 1 2 x 2 3 3x 1 ( 3 x 1) 5 3 x 1 5 1 1 x 2 3 x 1 2 x 1 2 x 2 5 解（二）： 由对数求导法 y' y ln ( 3 x 1) 5 3 x 1 x 2 1 1 5 y ln( 3 x 1) ln( x 1) ln( x 2) 2 2 3 1 1 1 1 1 5 y 3 2 x 1 2 x 2 3 3x 1 ( 3 x 1) 5 3 x 1 5 1 1 x 2 3 x 1 2 x 1 2 x 2 注：用对数求导法求函数的导数无须讨论 x 的取值范围。 注： 6 cos 2 x ( x 0), 求 y '. 例 4 设 y x 幂指函数 解： 由对数求导法 cos 2 x y ' y ln x y（cos 2 x ln x） y cos 2 x 'ln x cos 2 x （ ln x） 1 y 2 sin 2 x ln x cos 2 x x cos 2 x cos 2 x x 2 sin 2 x ln x x 7 3. 隐函数的高阶导数举例 补充例题：方程 y tan( x y ) 确定函数 y f ( x ), 求 y . 解：先求 y : y tan( x y ) 方程两边分别对 x 求导数 y ' sec 2 ( x y ) (1 y ' ) (1 y 2 )(1 y ' ) 解得 : 1 y2 2 y' y 1 ( y 0) 2 y （1 ） 3 y 2 y y' 两边再对 x 求导： 2 把（ 1 ）式代入上式得：y 3 y 1 1 2 , y ( y 0). 注 隐函数求高阶导数，多次将方程两边分别对 x 求导数， 注意利用原方程和含一阶导数的方程，不断将结果化简。一般， 隐函数的导数仍是隐式形式。 8 二、参数方程所确定的函数的导数 x ( t ) 设参数方程 t ( , ) 唯一确定函数 y f ( x ) y ( t ) ( t ), ( t )可导， ( t ) 0。则函数 y f x 可导，且 dy dy ' (t ) dt , dx dx ' ( t ) dt t ( , ). 9 x a ( t sin t ) 求摆线 （ a 为常数）在 t 时的切线方程 . 例5： 2 y a(1 cos t ) （ 2）a 解： 切线上 , 对应于 t 的点为 , a , 2 2 dy a (1 cos t ) t sin t t cot , dx a ( t sin t ) 1 cos t 2 t dy dx 1 t 2 因而，所求切线方程为 ： ( 2)a y a x , 2 (4 )a 即：x y 0 2 10 例 6. 炮弹发射的初速度为 v0, 方向与地平线成 角，如果不计空 气阻力，求： 1 、炮弹在时刻 t 的速度； 2 、若弹着点 A 也在地平线上，求射程。 解：建立坐标系如图 1 、炮弹在时刻 t 的速度； y vy v (t ) 设时刻 t 炮弹在 x ( t ), y( t )， v x v 0 v 0 sin x ( t ) v 0 t cos 弹着点 则 1 2 y( t ) v 0 t sin gt A x O v 0 cos 2 炮弹在时刻 t 的速度大小，可以由其水平分速度 vx 和 垂直分速度 vy 来表示。 v x x ( t ) v 0 cos v y y ( t ) v 0 sin gt 11 炮弹在时刻 t 的速度大小 v v x2 v 2y (v 0 cos ) 2 (v 0 sin gt ) 2 v 02 2v 0 gt sin g 2 t 2 速度的方向（设与 x 轴的夹角为 ），满足 dy y ( t ) v 0 sin gt tan dx x ( t ) v 0 cos 2 、射程 因为弹着点 A 在 x 轴上， y =0. 1 2 即： v 0 t sin gt 0 2 2v 0 sin v 02 解得 : t t 0 , 射程 : x ( t 0 ) sin 2 g g 12 参数方程高阶求导法举例 x a ( t sin t ) d2y 补充例题：由 ( t 2n , n Z ), 求 2 . dx y a (1 cos t ) d 2 y dy' dy' dx y' t 1 2 t csc , 2 ' dx dt dt 2 dx xt 2 t sin 2 t 1 t cot csc 2 1 cos t 2 t 2 t 2 2 sin 2 2 a (1 cos t ) a(t sin t ) t 1 a (1 cos t ) 2 2 d y 注意： 不能把对 y 直接用求导公式算得的 结果，误认为 2 . dx 因为 y ' 一般是 t 的函数。 13 n 1 ' d y n 1 d n y dx t 一般有 n dx x t' 四 . 相关变化率 x x ( t )、y y( t ) 某种关系 , 从而变化率 都是可导函数 而变量 x,与 y 之间存在 dx dy 与 之间也存在一定关系。这两 dt dt 个相互依赖的变化率称为相关变化率。 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 , 以便 从其中一个求出另一个。 14 例 7 一气球从离开观察员 500m 处离地面铅直上升 , 其速率为 140m/min( 分 ). 当气球高度为 500m 时，观察员视线的仰角增加率 率为多少 ? 解 气球上升 t 秒后 , 其高度为 h, 观察员视线的仰角为 , 则 h 观察员 tan , 500 h 500m 其中与h为时间 t的函数。上式两边对t求导得 d 1 dh 2 sec . dt 500 dt dh 又 140m / min, 当h 500 m 时, tan 1, sec 2 2 dt 代入上式得 d 140 0.14( rad / min) dt 2 500 15 作业 : 习题 2-5 ， 2-6 ， 学习指导 例题，除 2.15,2.16 以外全做 ， 作业纸： P13 16-P15 下次交 P13--14 16
