高数2-2,3,4

高数2-2,3,4内容摘要：

函 数 的 求 导 法 则 基本初等函数的求导公式 函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则 1 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的求导法则 设u u( x ), v v ( x )都在 x处可导 , 那么： 1. ( u v )' u'v' 2. ( uv )' u' v  uv ' 3. 当同时又有 v ( x ) 0时，有 推论 1 、推论 2  u  u' v  uv '  '  v2 v 4. (Cu)' Cu' 5. ( u v w )' u'v 'w' ( uvw )' u' vw  uv ' w  uvw' 2 利用求导法则求导数举例 常数的导数为零  求：f ' ( x )；f ' (1) 例 1. f ( x ) 2 x  3 x  sin  ln 2 7 解：f ' ( x ) 4 x  3, f ' (1) 4 1  3 1. 2 求： y ' 例 2 y (sin x  2 cos x ) ln x ： 解： y ' (sin x  2 cos x ) ln x  (sin x  2 cos x )  ln x   1 (cos x  2 sin x ) ln x  (sin x  2 cos x )  x 2 证明： (tan x )'  sec x 例 3.  sin x  (sin x )' cos x  sin x (cos x )' 解： (tan x )'    cos 2 x  cos x  sin 2 x  cos 2 x 2   sec x 2 cos x 3  tan x   2 sec x ,  cot x     csc 2 x . 1 ' . （a  0, a 1） 例 4 证明：（ log a x） x ln a ： ' 1 1 ln x   解：  log a x '  (ln x )'    x ln a  ln a  ln a 1  tan x  2 log a x  x x , 例5： y tan x 1  tan x 解： 由于： cot x  1 tan x dy 求： dx 先化简第一项，大 大方便了计算。 dy 2 3 2 所以：   csc x   x dx x ln a 2 4 ( x 2  1) 2 例 6 ： g( x )  x2 求：g ' ( x ) 解： 由于： g( x )  x 2  2  x  2 所以： g ' ( x )  2 x  2 x 3 先化简函数表达式， 大大方便了计算。 2  3 ( x 4  1) x 5 第三节 反函数的导数 复合函数的求 一、反函数求导法则 导法则 设： x  ( y )单调连续并在点 y可导，且  ' ( y ) 0 x  ( y )的反函数 y  f ( x )在对应点 x处可导，则 dy 1  dx dx dy 注意： 1 、这里反函数的记法，并不把自变量按习惯记作 x. f '( x)  1  '( y) 或者记为 2 、反函数关系是相互的。 即：x  ( y )是 y  f ( x )的反函数， y  f ( x )也是 x  ( y )的反函数。 6  ）内单调连续， 例 1 y  a x的反函数 x  log a y在（0， 且x  R相应的 y  ( 0,) dx 1 把式中的 y 用 x 表示  dy y ln a dy 1    y ln a  a x ln a dx dx dy 1 y arcsin x ( x  1), 证明 y'  2 1  x dx cos y , 证 x sin y , 已知 例 2 dy dy 1 1 1 1     2 dx dx cos y 1  sin y 1  x2 dy 1 arcsin x  1 x2 7 类似可得  arccos x     1 1  x2 1   arctan x   , 2 1 x arctan x 例 3 ： f ( x )  1  sin x ,  arc cot x   1  1  x2 求：f ' ( x ) (arctan x )' (1  sin x )  arctan x (1  sin x )' 解： f ' ( x )  (1  sin x ) 2 1 (1  sin x )  arctan x cos x 2 1 x (1  sin x ) 2 (1  sin x )  (1  x 2 ) arctan x cos x  (1  x 2 )(1  sin x ) 2 例 4 ： y  2 x arccos x , 解： y '  2 x ln 2 arccos x  求： y ' 2x 1  x2 8 二、复合函数的导数 函数 u  ( x )在x处可导， y  f ( u)在与 x相应的点 u处可导， 则：复合函数 y  f   ( x ) 在x处可导, 且 dy dy du y'  f ' ( u)  ' ( x ) 或者   dx du dx y 由于 y  f ( u)在点 u处可导，故 lim  f ' ( u) u  0  u y 极限与无穷小的关系   f ' ( u )   ( u ) u （*）   y  f ' ( u )  u   (  u ) u (*)式两端分别除以 x y u u 得：  f ' ( u)   ( u ) x x x 9 y u u  f ' ( u)   ( u ) x x x  函数u  ( x )在x处可导，两边取极限 : y u u  f ' ( u) lim  lim  ( u)  f ' ( u)  ' ( x ) x  0  x x  0  x x  0 x lim dy dy du 或者写成：   dx du dx 特别注意： dy 1、f ' ( u)或 是对u求导，即：把 u当作自变量使用求导公 式； du 2、由此可以看出：求导 公式具有“形式可变性 ”： 如： (sin u)' cos u只有当u是自变量时才正确，如 果u是 其它变量 x的函数, 则应有(sin u)' cos u u 'x 10 3. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。 以两个中间变量为例，设 y ＝ f(u), u=φ(v), v=ψ(x) ，则 dy dy du   , dx du dx 而 du du dv   , dx dv dx 故复合函数 y  f     x    的导数为 dy dy du dv    . dx du dv dx 11 例： y e ln sin 1 x , 求y '. 1  1  ln sin x  ln sin x  e 解： y'  e     1 ln sin 1  1 x e   sin  1  x sin x e e ln sin 1 x ln sin 1 x 1 1 y  e , u  ln v , v sin w , w  x  1   ln sin  x  1  1  cos   1 x  x sin x u  dy du 1 e u ,  , du dv v dv dw 1 cos w ,  2 dw dx x dy 1 1   u e  cos w   2  dx v  x  1 1   1  cos  2  1 x x  sin x 12 dy . dx  1 dy   1  2 x 2  3   1 1  2 x 2  dx  3 3 2 例 5 y  1  2x ,求 解  2 y  ( 2 x  tan x ) , 例6 ： 2 3  1  2 x   2   4x   33 1  2 x 2 2  . 求y ' 2 解： y ' 2( 2 x  tan x ) ( 2 x  tan x )' 2( 2 x  tan x ) ( 2  sec x ) 例7 f ( x ) sin nx cos n x ( n  R ) 求f ' ( x ). 解： f ' ( x )   sin nx 'cos n x  sin nx (cos n x )'  n cos nx cos n x  sin nx n cos n 1 x (  sin x )  n cos n 1 x(cos nx cos x  sin nx sin x )  n cos n 1 x cos( n  1) x 注意化简 ! 13 求 y' 例 8 、 y ln x , 记录  ln x 解： y  ln x   ln(  x )  x  0时(ln x )' (ln x )'  x0 x0 1 x x  0时(ln x )' (ln（  x） )'  即： (ln x )'  1 1 (  x )'   x x 1 x 例 9 f ( x )可导，y  ln f ( x ) , 记录 1 f '( x) 解： y' (ln f ( x ) )'  求y  f ( x) 14 例 10 函数y  ln sec x  tan x , 求y' 1 记录 解： (ln sec x  tan x )'  sec x  tan x (sec x  tan x )' sec x tan x  sec 2 x  sec x sec x  tan x 例 11 ：f ( u), g (v )都是可导函数， y  f (sin 2 x )