高数2-1

高数2-1内容摘要：

美国的西蒙教授（曾获得过心理学 贡献 奖、计算机图灵奖和诺贝尔经济学 奖。）经过科学的试验，做出一个有趣的推 断： 一个有一般基础的人，只要他肯刻 苦努力，在六个月内就可以掌握一门学问。 因为，一门学问大约有 5 万个“信息块”， 一般 人每 1-1.5 分钟可以记住一个信息 块。六个月的时间应该能达到基本掌握，并 能解决该领域的一般问题。 1 第二章 导数与微分 2 第一节 导数的概念 直线运动的速度 左、右导数 抽象出 切线问题 导数的定义 导数的几何意义 函数的可导性与连续性的关系 3 第一节 一、几个实例 导数的概念 s s  s(t ) 1 、变速直线运动的瞬时速度 运动方程 : s  s  t  （ 1 ）t 0 变化到 t 1时有增量 t , t t 1  t 0 s1 s s0 O 相应的 s 0 变化到 s1 , 增量为 s , t0 t t1 t s  s1  s 0 s s1  s 0 比值  是这段时间的平均速度 ; （2） t t1  t 0 s1  s 0 s 若极限 lim  lim 存在，则可以看作在 t 0时的 （3） t  0  t t  0 t  t 1 0 瞬时速度。 4 y 2 、平面曲线的切线斜率 （ 1 ）当x 0 有增量 x时， y  f ( x )有增量 y  f ( x 0  x )  f ( x 0 ); （ 2 ）比 值 y f ( x 0  x )  f ( x 0 )  x x f ( x 0  x )  P P 1 f ( x0 )  O P0 T P2  N x0 x 0  x  x 是割线 P0P 的斜率 k （ 3 ）当x  0时, 点P沿P1 , P2 无限逼近P0，割线P0 P的极限 位置就是切线P0T f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y （ 4 ） 若极限 lim  lim 存在, x  0  x x  0 x 这极限就是切线 P0T的斜率。 5 二、导数的定义 1 、函数在点 x0 处的导数定义： 定义： 设函数 y  f ( x )在x 0的某一邻域 U ( x 0 ,  )内有定义， 自变量在 U ( x 0 ,  )内从x 0变化到 x 0  x时，相应的函数有增量 y y  f ( x 0  x )  f ( x 0 ).如果 x  0时，比式 的极限存在， x 则称函数 f ( x )在x 0 处可导，并称这个极限 值为函数在 x 0 处的 导数 . 记作 : f ' ( x 0 ), 或y' 即 dy 或 x x , dx , x x df 或 dx . x x f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y f ' ( x 0 )  lim  lim x  0  x x  0 x 当上述极限不存在时， 称函数 f ( x )在x 0不可导。 求导法：求增量、算比值、取极限。 求导法 6 注：导数公式的其他表示形式： 注： f ( x 0  h)  f ( x 0 ) f ' ( x 0 ) lim h 0 h f ( x)  f ( x0 ) f ' ( x 0 )  lim x  x0 x  x0 2. 单侧导数： f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y 左导数 : 若极限 lim  lim 存在， x  0  x x  0 x 则称这极限为 f ( x )在x  x 0 处的左导数。记为 f '  ( x 0 ). f ( x 0  x )  f ( x 0 ) y  lim 存在， 右导数 : 若极限 lim x  0  x x  0 x 则称这极限为 f ( x )在x  x 0 处的右导数。记为 f '  ( x 0 ). 3. 导数存在的充要条件： f ' ( x 0 )存在  f '  ( x 0 )、f '  ( x 0 )存在且相等。 7 4. 在开区间（ a,b ）内可导及导函数： 如果函数 f  x 在开区间  a, b 内的每一点都可导 , 则称 f  x  在区间  a, b 内可导。  这时，  a, b内的每一点 x 都有唯一的导数值与 x 对应 , 于 是, 得到一个函数，称为 f  x  的导函数，记作 f  x . f ( x  x )  f ( x ) 即： f ' ( x )  lim , x   a, b x  0 x 注意： (1) 导函数表达式中，虽然 x可以是  a, b  内的任意数值 , 但是求导过程中的变量是 x , 在导数定义的极限过程中 x是常数 . (2) f '  x 简称导数 , f '  x 0 称为函数 f  x 在x 0 处的导数. (3) f '  x 0   f  x  x x0 (4) 如果在区间  a, b 的左端点 x a处有右导数 , 同时在右端点 x b处有左导数 , 在区间内的各点可导 , 则称函数在闭区间 a, b 上可导。 8 三 . 导数的几何意义 f  x 0  x   f  x 0  tan   , x k  tan   lim tan  x  0 f  x 0  x   f  x 0   lim x  0 x  f '( x0 ) y f ( x 0  x ) f ( x0 )  P P0  O x0 T N x 0  x x 函数f ( x )在x0点的导数，就是曲线f  x  在点 x0 , f ( x0 ) 处切线的斜率。 曲线y  f ( x )在点 x 0 , f ( x 0 )处的切线方程为： y  f ( x 0 )  f ' ( x 0 )( x  x 0 ) 当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方程为： 1 y  f ( x0 )  ' ( x  x0 ) f ( x0 ) 9 四 . 可导与连续的关系 f ( x )在x 0点可导  f ( x )在x 0点连续。 f ( x )在x 0点可导  极限与无穷小 之间的关系 f ( x )在x 0点连续。 y y f ' ( x )  lim ,  f ' ( x 0 )    x  , 则 事实上， 0 x  0  x x 即 y  f ' ( x 0 ) x    x  x ,  lim y 0. y x  0 x 0 x 观察： y  x  x0  x f  x   f  0   x f '  (0)  lim  lim  1, x  0 x  0 x x f  x   f  0  x f '  (0)  lim  lim 1 x  0 x  0  x x O x f '  ( 0)  f '  ( 0) 该函数在 x=0 点不可导，但前面已知这个函数在 x=0 点连续。 10 五 . 例题 1 、由定义求导数 例 1 求函数 f  x  的导函数 x2 f  x  和在 x 处的导数 1 f 1. 解： 1 、求增量 : x  R, 相应于 x 有 y  ( x  x ) 2  x 2  2 x (  x )    x  2 2 、算比值 :y  2 x  x x y  lim ( 2 x  x )  2 x 3 、取极限 :lim x  0 x x  0 f  x  2x; f 1 2. 11 例 2 求函数 解 f  x   x n  n为正整数 在x a处的导数。 xn  an f  x  f a  lim f  a   lim x a x a x a x a   n 1  lim x n 1  ax n 2    a n 1  na . x a 在上面的例子中，将 a换成 x得 即 x n   nx n 1 f ' ( x )  nx n  1    更一般地，对于幂函数 y  x  为常数 ，有  x    x   1 12 例 3 求函数 y sin x的导数。 x    sin 2  sin( x   x )  sin x  x   解： sin x '  lim  lim  cos x   x  0  x  0 x 2    x  2  cos x  sin x   cos x ,  cos x     sin x . x 例 4 求函数 f  x   a ,  a  0, a 1的导数。 解 a f  x  h  f  x   lim f  x   lim h 0 h 0 h xh  ax h h a 1 x a lim a x ln a（ . P 85例7结论） h 0 h  a   a x x ln a . e  x  e x . 13 例 5 求函数 y ln x的导数 当x 0时, Ln(1+x)~x 解： x  (0,) ln( x  x )  ln x (ln x )'  lim x  0 x x x ln(1  ) 1 x x  lim  lim  x  0  x  0 x x x 即 : 对x  0, 1 (ln x )'  x 例 6 设 f  x   x sin x , 求 f  0 . 解 x sin x  0 f  x   f  0 lim 0 f  0  lim x  0 x 0 x x 0 14 3n 1  x ，则 f ( x )在