高数1-8

高数1-8内容摘要：

第八节 无穷小的比较 高阶无穷小 无穷小 同阶无穷小 特例 低阶无穷小 等价 无穷小 等价无穷小 的充要条件 等价无穷小 的替换 1 一、基本理论 当x  0时,3 x , x 2 , sin x , tan x都是无穷小 , x2 sin x 而 lim 0 , lim 2  , lim tan x 1 x  0 sin x x 0 3 x x 0 x 两个无穷小比的极限不同，反映了不同无穷小 趋于零的“快慢”程度 在x  0的过程中 , x 2  0比3 x  0“快些” , 反过来 3 x  0比x 2  0“慢些” , sin x  0与 tan x  0“快慢相仿” . 比较无穷小的这种“快 慢”程度称为无穷小的 比较 . 2 1. 定义： 设、是在同一个极限过程中 的无穷小 ,  0.  如果 lim 0 , 则称 是比 高阶的无穷小 , 记作 o  ,   如果 lim  , 则称 是比 低阶的无穷小 ,   如果 lim c 0 , 则称 与是同阶无穷小 ;   如果 lim 1 , 则称与是等价的无穷小 , 记作～ .   如果 lim k c 0 , 则称是关于  是k阶无穷小。  3 2. 等价无穷小的充要条件    o . 定理 1 ： 与 是等价无穷小  证： 设～ , 则 lim    lim   1  lim  1 0         o  ,即   o  .     o  lim 1  o   1   设   o  , 则 lim lim      ～ 3. 等价无穷小的替换定理 定理 2 设～ ,  ～ 且 lim    存在, 则 lim lim '   证： lim  lim       lim  lim   lim   lim              4 二、例题 1. 确定无穷小的阶 例 1 当 x  0时，下列函数分别为 x的几阶无穷小？ (1) sin x tan x; ( 3) (2) 1  x  x tan x  x 2  1 x ; 1  x; (4) cos x  cos 2 x . sin x tan x sin x tan x 解： (1) lim lim  1 2 x 0 x  0 x x x 所以 sin x tan x 是 x的 2 阶无穷小。 (2) lim x 0 所以 1 x  1 x 2x lim 1 x  0 x x 1 x  1 x  1 x  1  x 是 x的同阶无穷小。  5 tan x x 2 x tan x  x  ( 3) lim 2  x 1 x 0 x 1 x 1 x  所以  x  tan x  x 2  1 x 是 x的 2 阶无穷小。 x (4) cos x  cos 2 x cos x  1  2 sin x 2 sin x  2 sin 2 x 2 sin 2 x  2 sin 2 cos x  cos 2 x 2 3 lim  lim x 0 x 0 2 x2 x2 2 2 2 所以 cos x  cos 2 x 是 x的 2 阶无穷小。 确定无穷小的阶这类问题的一般方法是： （ 1 ）通过求极限的方法来确定无穷小的阶； （ 2 ）利用无穷小的替换。 6 2    x  kx 与  x   1  x arcsin x  cos x x  0 时， 例2 当 3 是等价无穷小，则 k = ？ 。（ 2005 年研究生入学试题 , 数学二） 4 解  ( x) 1  x arcsin x  cos x lim lim x 0  ( x ) x 0 kx 2 1  x arcsin x  cos x lim 2 x 0 kx 1  x arcsin x  cos x 2 x 2 sin  x arcsin x 2 lim 2 x 0 kx 1  x arcsin x  cos x 2 x 2 sin 1 2  x arcsin x 1 2 2 3 2 x x  1  lim x 0 4k 2k k 1  x arcsin x  cos x       7 2. 利用无穷小的替换定理求极限 x 3  4x 例 3 ：求 lim x  0 sin 2 x 解：  当x  0时, x 3  4 x～4 x , sin 2 x～2 x , x 3  4x 4x  lim lim 2. x  0 sin 2 x x 0 2 x tan 2 4 x 求 lim 例4 ： x  0 21  cos x  x2 解： 当x  0时, tan 4 x～4 x ,1  cos x～ , 2 2  tan 2 4 x 4x  lim lim 16 x  0 21  cos x  x 0 1 2  x 2 2 8 2x x 2  1 （ 2005 年研究生入学试题 ,70 题） 2x 2x 解： 当x  时, sin 2 ～ 2 , x 1 x 1 2x 2x sin 2 2 2x 2x 2 x  1 x  1  lim x sin 2 lim lim lim 2 2 x  x   x   x   1 1 x 1 x 1 x x x sin 例 5 ：求 lim x  注：熟练运用经常用到的等价无穷小的替换 注： 当   x   0 时， sin   x  ~ tan   x  ~ arcsin   x  ~ arctan  x  ~   x  ln 1    x   ~   x , e   x   1 ~   x , 1  cos   x  ~ 1   x  2 , 2 a   x   1 ~   x  ln a , 1    x  a  1 ~ a  x . 9 1 x 例6 ： 求 lim x  0 1  cos x  ln 1  x  3 sin x  x 2 cos 解： 当x  0时, ln 1  x  ~ x , 1 1 2 3 sin x  x cos 3 sin x  x cos x x lim  lim x 0 x  0 1  cos x  ln 1  x  1  cos x  x sin x 1 3  x cos 3 x x lim  x 0 1  cos x 2 1  x sin x  1 求 lim 例7 ： x2 x 0 e 1 解：  当x  0时, 2 1  x sin x  1 1  x sin x  1 2 1 x2  1 ~ x sin x , e  1 ~ x 2 , 2 1 x sin x 1  x sin x  1 1 2 lim  lim  2 x2 x 0 x 0 x 2 e 1 10  当x  0时, sin x ~ x , tan x ~ x，  lim x 0 tan x  sin x x x  lim ? x  0 3 0 2 x sin x x 1 2 x x tan x  sin x tan x 1  cos x  1 2  lim lim lim  2 3 3 x 0 x  0 x  0 2 x sin x x x 注：利用无穷小的替换求极限，须注意以下问题： （ 1 ）一般只适用于求极限函数中的乘积因子。 （ 2 ）如果极限中出现加减时，则设法把它们转化为乘除的 形式。 11 lim x n yn 0 , 只要证 4 分析 要证明 n  ： 对于   0 , N , 当n  N时 , x n y n  0   证   xn  恒成立。 有界，  M  0, x n  M , (n).  lim y n 0, n     0 , 取  1   0 , N , 当 n  N , M  yn  0  yn   1  M xn yn  0  xn yn  xn yn  M    M  lim x n yn 0 , n  12 sin x 0 lim x   x 证明： sin x 1 1 1  0    , 只要 x  , x  2 即可，   x x 1 sin x 取X  2 ，当x  X时，恒有  0 ,  x sin x 所以 lim 0 x   x   0, 要使 lim (3 x  1) 8 x 3 证明 ：   0, 要使 3 x  1  8  3 x  9 3 x  3   ,   只要 x  3  即可，取   ， 3 3 当0  x  3  时，恒有 3 x  1  8   , 所以 lim( 3 x  1) 8 x 3 13 证  lim u n a , n     0 , N ,当n  N时， un  a   . 而 un  a  un  a    lim un  a . n  例如： 1 ， -1 ， 1 ， -1 ，… un 1 ,  lim un 1. n  但 lim un 不存在。 n  14 证 分析： 要证明 lim xn a , 只要证 n  对于  0 , N , 当n  N时 ,  x2k  1  a  k   , xn  a  恒成立。 x