高数1-7

高数1-7内容摘要：

人的智力具有巨大的开发潜力 　　 有人说，世界上什么容器都能装满，惟独人 脑装不满。这话有一定道理。人脑神经细胞，通 常大多处于休眠状态，最多时也只有 10% 在发挥 作用。即使是科学家，他的智力被开发出来的也 只有 10% 。人脑处理信息的能力为每分钟 400 个 单 词，是目前人们演说速度每分钟 100 ～ 180 个单 词 的 2 ～ 4 倍。 唐甄在《潜书》中说：“心，灵物也；不用则 常存，小用之则小成，大用之则大成，变用之则 至神。” 1 第七节 极限存在准则 两个重要极限 sin x 1 夹逼准则 推出 重要极限 :lim x 0 x 极限存在准则 单调有界数列 推出 必有极限 应 重要极限 : x 1  lim 1   e x  x  用 柯西极限存在准则 2 一、极限存在准则及重要极限 1. 极限存在准则 ① 夹逼准则 （夹逼定理） 准则 1 ：如果数列 x n  , yn  及 z n  满足下列条件： 1 y n  x n  z n  n 1,2,3,,  2 lim y n a , lim z n a , n  n  则数列 x n  的极限存在 , 且 lim x n a . n  准则1 若  1当x  U  x 0 , r 或 x  M 时, 有g  x   f  x  h x   2 xlim g  x   A, lim h x   A, x x x 0  x  0  x  则 lim f  x 存在, 且 lim f  x   A. x  x0  x  x  x0  x  3 准则 1 ：如果数列 x n  , yn  及 z n  满足下列条件： 1 y n  x n  z n  n 1,2,3,,  2 lim y n a , lim z n a , n  n  则数列 x n  的极限存在 , 且 lim x n a . 证明： 因 lim y n  n  n a , lim z n a n    0, N 1  0,当n  N 1时，有 yn  a   又N 2  0,当n  N 2时，有 z n  a   所以 对 取N max N 1 , N 2  , 则当n  N时，有 y n  a  ，z n  a  同时成立，即 a    y n  a   , a    z n  a  同时成立， 有a    y n  x n  z n  a   ， 有 x n  a  ， 所以 lim x n a 4 n  ② 准则 2 单调有界数列必有极限。 收敛的数列一定有界， 但有界的数列不一定收敛。 如果数列不仅有界，而且单调， 那么该数列的极限一定 存在， 即该数列一定收敛。 准则2的几何解释： x2x 3 x ..A x M n 1 单调数列的点 x n只可能向一个方向移动 , 有两种可能情形： . x1 . . …... . xn 1 x n 沿数轴移向无穷远  x n  或x n   .  2 x n 无限趋近于某个定点 A, 即 lim x n  A. n  对于单调有界数列 , 情形 1显然不能发生 ,  x n  A n   5 (3) 准则 3 * 柯西（ Cauchy) 收敛准则 : 数列 x n  收敛的充分必要条件是 ：   0，N  0，当 m  N , n  N时， 恒有 x n  x m   6 2. 两个重要极限 sin x lim 1 x 0 x lim u x  0 x  sin u x  lim 1 x  u x  x 变形 1  lim 1   e x  x  lim u x   lim 1  x  e x 0 lim u x  0 x   1   lim 1  x  u( x )   1 x x  u( x ) e lim 1  u( x ) x  1 u( x ) e 7 二、例题 1. 用夹逼准则 （夹逼定理）证明或求极限 例 1 ：利用夹逼定理证明 （记录） 1 1   1 lim 2  2   2  存在 , 并求极限 . 2 2 n  n  1 n 2 n n   1 1 1  k 1,2 , , n  ,    解： 2 2 2 2 2 2 n n n k n 1 1 1 1 n 1  2  2   2  2  2 2 2 2n 2n n  n   n  n    n  n  n项  1 1 1     2 2 2 2 2 n  1 n  2 n  n             n项 1 1 1 n  2  2   2  2 n  1 n  1    n  1 n  1 n项 8 1 1 1 1 n  2  2     , 2 2 2 2 2n n  1 n  2 n n n 1 1 n 0 1 n lim  lim 0, lim   0 , 2 n   n  n  2n 1 n 1 10 1 2 n 由夹逼定理知： 1 1   1 lim 2  2   2  存在, 且 2 2 n  n  1 n 2 n n   即 1 1   1 lim 2  2   2  0. 2 2 n  n  1 n 2 n n   9 sin x 1. 例 2 用夹逼准则证明：lim x 0 x   x   0 , 可设 0  x  . 证：先设 x  0 , 2 如图：A , C在单位圆周上 , AOC  x , x OC是半径 , 且AB  OC , DC  OC , o AB 于是有 sin x   AB , AO DC tan x   DC , x 弧AC的长 , OC 而AOC的面积  扇形AOC的面积  DOC的面积 A D B S  AOC 1 1 1 1  AB OC  AB  sin x , S扇形AOC  x , 2 2 2 2 S  DOC 1 1 1  DC OC  DC  tan x , 2 2 2 1 1 1 sin x  x  tan x , 2 2 2 sin x  x  tan x , C 10  ,  sin x  0, 2 x 1 1  , sin x cos x sin x 1  cos x , x  0 x 得  用 sin x除不等式 , 1 sin  x  sin x   , cos  x  cos x ,  x x  在  2  x  0内1式也成立 . 下面只需证明 lim cos x 1即可： x 0  事实上 , 当0  x  时, 2 2 x x2  2 x 0  cos x  1 1  cos x 2 sin  2   , 2 2 2  2 即 x 0  1  cos x  , 2 11 x2 当x  0时,  0,由夹逼定理知：lim cos x 1, x 0 2 再由1式及夹逼定理得： sin x lim 1. x 0 x 注 在上面的证明中, 还得到一个重要不等式 ：     2 sin x  x  当 x  时  2     sin x 1  ,  当 x   时,  2 式仍成立 . 2 2 12 n a 1n  a 2n    a kn . 例 3 设 a i 0 i 1,2,  , k , 求 lim n  （记录） 分析： 设 M max a 1 , a 2 ,  , a k  , M n a 1n  a 2n    a kn M n k . 解： 设 M max a 1 , a 2 ,  , a k  , 则有 n 1 n 2 n k n M  a  a    a M k . n 可以作为已知 极限的极限 lim n a 1(a  0), n  lim n n 1 n  而 lim M lim M n k M . n  由夹逼定理 n  lim n a 1n  a 2n    a kn M . n  13 2. 用极限存在准则 2 ，证明并求函数的极限 例 4 设 a  0, x 1  0, x n 1 1 a    , ( n 1,2, ).   xn  2 xn  （记 录） （ 1 ）证明：数列  x n 单调减少且有下界； xn . （ 2 ）求 lim n  证明： （ 1 ）显然 x n 0 n 1. 1 a  1 a   由于 x n1   x n    2  x n   a , 数列  x n 有下界； 2 xn  2 xn a  x n2 1 a  0. 又因为 x n 1  x n   x n    x n  2 xn  2 xn 数列  x n 单调减少。 x n  A. （ 2 ）由（ 1 ）知，数列的极限必然存在，设 lim n  则 解得 lim x n 1 n  1 a   , lim  x n  n  2 xn   1 2 即 A A A  a 或A  a （舍去）。 a , A 14 （记 录） 例 5 设 x 1 10, x n 1  6 