高数1-4[1].

高数1-4[1].内容摘要：

第四节 函数的极限 函数的极限       函数极限的唯一性 函数极限的局部有界性 函数极限的局部保号性（定理 1 、定理 2 ） 函数极限与数列极限的关系 1 1 1 一、基本理论 (1) x  2时, f ( x )   ; ( 2) x  时, f ( x )  0 x 2 在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于 某个确定的常数， 那么，这个确定的常数就叫做这一变化过 程中函数的极限。 函数极限的描述性定义。 函数的自变量的变化过程可分为两种情况： x 0 , 表示为 x  x 0 ; x （ 1 ）自变量 无限接近有限值 （ 2 ）自变量 x 的绝对值 x无限增大， 表示为 x  . y A A A  O 。 x 0   x0 x0   x  x0时，f ( x )  A x 2 1. x  x 0 时f  x 的极限 函数极限的 ε-δ 定义 : 设f  x  在点x 的某一去心邻域有定义 ， 0 如果  0，存在  0，当0  x  x0  时，恒有 f  x   A   成立，则称当 x  x0时f  x  有极限A，记作 : lim f  x   A或f  x   A x  x0  . x  x0 注 1: f  x 在x 0 处有无定义对 f  x 当x  x 0时, 有否极限无关。 注 2: 是任意无限小的正数， 因此 f  x   A  才能 表明 f  x 无限接近于 A x  x 0 . 注 3: 正数 与x无关， 仅依赖于 ，但不是唯一的 , 比小的任何正数都可以。 3 几何解释： lim f  x   A x  x0 y A A A  O 。 x 0   x0 x0   x   0,   0, 当x   x 0   , x 0   时，使得 f  x   A  ，即 A    f  x  A   此式表明 f(x) 在 U  x 0 ,  内既有上界， 0 又有下界，即 : f(x) 局部有界。 4 2. 极限的局部保号性 定理 1: 如果 lim f  x   A，而且A  0或A  0 ，则存在 x 0的 x  x0 o o 某一去心邻域 U  x 0 ，x  U  x 0 ，就有 : f  x   0或 f  x   0 . f ( x )  A的定义 , 证 设A  0, 取正数   A, 由 xlim x 0  对  A,   0, 当x  U  x 0 ,  时, 恒有 f  x  A   , 即 A    f  x  A      A, f  x   0. 同理可证 A  0的情形 . 5 在定理1的证明中, 令  A 可得下面的结论： 2 定理 1’: 如果 lim f  x   A，而且 A 0，则存在点 x 0的某一  x  x0  去心邻域 U  x 0 ,  ，当x  U  x 0 ,  时，就有 f  x  A 2 定理 2: 如果在 x 0的某一去心邻域内 f  x  0或f  x 0  , 并且 lim f  x   A, 则 : x  x0 A 0或A 0 . 证 设f  x  0, 用反证法 . 设A  0, 由定理 1 存在点 x 0的某一去心邻域 , 在该邻域内 f  x   0, 这与f  x  0的假设矛盾 . 故A 0. 问题：比较定理 1 、 2 ，注意“＞”和“≥”，为什么？ 问题： 6 3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限： x  x 0 意味着点x从x 0 的左右两侧都无限趋近于x 0 . 如果只考虑点 x从x 0的左侧无限趋近于 x 0 , 记作x  x 0  0. 如果只考虑点 x从x 0的右侧无限趋近于 x 0 , 记作 x  x 0  0. 这类极限问题分别称为 f  x 在x 0的左、右极限问题。 当x  x 0  0时， f ( x )  A; 当x  x 0  0时， f ( x )  B . lim f ( x )不存在! x x 0 y y  f ( x) B  A  O x0 x 7 左、右极限的 ε-δ 定义 : 不等式 0  x  x 0  可表示为：    x  x 0  0当x  x 0 时 , 即x 0    x  x 0 及0  x  x 0   当x  x 0 时 , 即x 0  x  x 0   左极限：   0,   0, 当x 0    x  x 0时, 恒有 f  x   A   成立 , 则称x  x 0时, f  x 有左极限 A, 记作 : f  x 0  0  lim f  x   A. x  x0  0 右极限：  0,   0, 当x 0  x  x 0  时, 恒有 f  x   A   成立 , 则称 x  x 0时, f  x 有右极限 A.记作 : f  x 0  0  lim f  x   A. x  x0 0 极限存在的充要条件 (38 题) 定理 3 lim f  x   A  f  x 0  0   f  x 0  0  A x  x0 ： 注：定理 3 经常用于判断极限不存在的情况。 注： 8 4. x  时函数 f (x) 的极限 自变量的绝对值 x 无限增大  x  时, 函数值 f  x 无限接近 于确定的数值 A f  x   A, 则A就叫做函数 f  x 当x  时的 极限 . ---- 描述性定义  x   A, 用 f  x   A      0来刻划. f。 x  用 x  X  X  0 来刻划. 函数极限 ε—X 定义： 设f  x 当 x 大于某一个正数时有定 义 .   0, 总存在 X  0, 使得当 x  X时, 恒有 f  x  A   则常数A就叫做函数 f  x 当x  时的极限，记作 : lim f  x   A或f  x   A当x  . x  9 lim f  x   A的几何意义： y x  A A A   X O X x 单边极限的定义 : f  x   A当x  的定义：   0, X  0, 当x  X , 恒有 f  x   A  成立 , 则 lim f  x   A或f  x   A x  . x   f  x   A当x   的定义：   0, X  0, 当x   X , 恒有 f  x   A  成立, 则 lim f  x   A或f  x   A x   . x   10 则直线 y c是y  f  x  的图形 水平渐近线 : 若 lim f  x  c， x   x    x    的水平渐近线。 y 1 y y e x y thx O O x   ，y  0. x -1 x  ，y  1; x x   ，y   1. y 0是y e x的水平渐近线。 y 1是y thx的水平渐近线。 11 5.当x  时, f  x   A与两个单边极限的关系 ： 定理 : lim f  x   A  lim f  x   lim f  x   A x  x   x   证  （必要性）  lim f ( x )  A, 则 x    0, 总存在 X  0, 使得当 x  X时, 恒有 f  x   A   f  x  A   , f  x A 即 xlim   ② 当 x   X , f  x  A   , f  x A 即 xlim   ① 当x  X ,  （充分性）  lim f ( x )  lim f ( x )  A, 则 x   x     0, X 1  0, 当x  X 1 , 恒有 f  x   A  成立, 对于上面的 ，X 2  0, 当x   X 2 , 恒有 f  x   A  成立, 取X max{ X 1 , X 2 }, 则只要 x  X , 恒有 f  x   A    lim f ( x )  A x  12 6. 数列极限与函数极限之间的关系 （ 1 ） 数列是以正整数集为定义域的函数，即 a n  f (n) lim a n lim f (可以看成是函数 n) n  n  因此数列的极限 f ( x) 当 自变量取正整数 n ，并趋于正无穷大时的极限。 lim f ( n) lim a 存在。 f ( x存在，必有 ) 若 xlim n n  n    lim f ( x )一定不存在。 a n lim f ( n不存在， ) 反之，若 lim x   n  n  （ 2 ）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。 a n存在，则对 （ 3 ）收敛数列的有界性是整体概念，即若 lim n  n  N , M , 使得 a n  M ; f  x  存在，则只能推得函数在 x的某个 而对于函数 xlim 0 x 0 邻域有界，即 0 0 U  x 0 ,  , 及M , 使得对于x  U  x 0 ,  , 有 f  x   M . 13