高数1-1,2

高数1-1,2内容摘要：

高等数学 （上册） 。大 疆 域 ， 是人 两类 耳尚 之未 间开 的垦 空的 间最 1 课前絮语 1 、高等数学的重要性。 硕士研究生入学统考数学试卷分为三种： 工学： 数学一、数学二 经济学和管理学： 数学三 – 数学一： – 数学二： – 数学三： 高等数学，线性代数，概率论与数理统计 高等数学，线性代数 微积分，线性代数，概率论 数学一内容比例：高等数学 分 线性代数 34 分 82 2 2 、适应初等数学到高等数学的转变。 3 、适应教学进度。 4 、适应直接面授到多媒体教学的转变。 5 、作业问题 学无止境，勤能补拙！ 大学生数学竞赛（北大） 3 自学内容 1. 附录Ⅰ、Ⅱ ； 2. 极坐标 , 曲线的极坐标方程； 3. 参数方程。 4 参考书目： 1. 吉米多维奇《高等数学习题精选精 解》刘建亚、吴臻主审张天德 蒋晓芸 主编 2. 《考研数学真题分类全解》清华大学 胡金德作序 刘建亚主审 张天德主编 3. 《高等数学同步辅导》吴臻主审张天 德主编 同济大学（第六版）配套 5 张 天 德 13953172145 zhangtd@sdu.edu.cn • 山东大学教授、研究生导师、教学能手、 《高等数学》课程负责人、青年教师授课十佳 • 山东省优秀青年知识分子、中青年学术骨干 • 全国大学生数学竞赛山东赛区负责人、硕士 研究生入学考试山东阅卷组组长 6 第一章 函数与极限 ● 初等数学是常量数学，主要研究常量。 ● 高等数学是变量数学，主要研究变量。 ● 函数是变量之间的依赖关系 函数是高等数学的研究对象。极限的方法是研究函 数的基本方法，贯穿于高等数学的始终，它是初等 数学与高等数学的分水岭。因此理解函数的概念， 掌握极限的理论是学好高等数学的基础。 7 本章先学习函数及其相关概念，介绍函数的基本性质 和常见的初等函数；接着讨论数列、函数的极限，包括极限 的定义和求几种不同形式极限的常用方法；然后介绍无穷小 量和无穷大量，包括无穷小的比较；最后说明函数的连续性 ，并介绍利用连续函数的性质求解一些常见问题的方法。 8 第一节 函数 第二节 初等函数 有界性 集合 单调性 函数 映射 周期性 奇偶性 初等函数 分段函数 复合函数 9 一、重要知识点： 1. 严格单调函数必有反函数，且严格递增（减）函数的 反函数也必严格地增（减）。反之，有反函数的函数未必一 定是严格单调函数。函数 y  f ( x ) 与 反函数 x  f  1 ( y ) 表 示同一条曲线，若用 x 表示自变量，y 表示因变量，则 y  f ( x ) 1 与y  f ( x ) 的图像关于直线y  x 对称，f  1 ( x ) 的定义域即 f ( x ) 为 的值域。 2. 两个奇函数的和或差仍为奇函数；两个偶函数的和、 差、积、商（除数不为 0 ）仍是偶函数；两个奇函数的积与商 （除数不为 0 ）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积与商 （除数不为 0 ）为奇函数。 10 3. 分段函数是一种特别重要的函数，它用几个的不同的 解析式“分段”表示一个函数。所有解析式对应的定义域的 并集是该函数的定义域。图像分段的函数不一定是分段函数， 分段函数的图像也可以是一条不断开的曲线（曲面）。 4. 复合函数可由两个或多个函数相继进行有限次复合而 成。但并不是任意两个函数都可以进行复合。设外层函数 y  f ( u), u  D ，内层函数 u  g( x ), x  E ，仅当外层函数的定义 域与内层函数的值域的交集非空时，两个函数才能复合。如 y  u 2  2 , u sin x 就不能复合成 y  sin 2 x  2 11 二、几个重要的概念： 1 、邻域 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域 , 记为 U(a). δ>0, 称集合 (a-δ,a+δ) 为点 a 的 δ 邻域 , 记为 U(a,δ).   U a,   x x  a   . a- a+ a U （ a,  ） = （ a-, a+ ）  x 0  x  a  称为点  a U  a ,    x 0  x  a    . 集合 a叫做邻域的中心； 叫做邻域的半径。  的去心 δ 邻域 , 记为 U  a ,  .  即 a- 。 a a+ 12 2 、分段函数 分段函数是由几个不同解析式表示的一个函数。不能把它 看作多个函数。只不过在定义域的不同集合，有不同的解析式而已 。 分段函数的定义域 : 是各个有定义的不同集合的并集 。 求分界点处的函数值要注意分界点在哪个 要注意各段的分界点 区间。不同定义区间的自变量，按对应区 。 间的函数表达式求函数值。 几个特殊的常用的分段函数： 例 绝对值函数 y x y  x   x O x x 0 x 0 13 1, 当x  0,  y sgn x 0, 当x 0, 符号函数  1, 当x  0  y P4 例 1.1.4 3 y 1。 2  0 。 . 。 . .。 -3 -2 -1 x 。 -1 . .0 。 1 -1 1 。 . .。 。 2 3 x -2 -3 阶梯曲线 例 取整函数  - 1.34  2; y  x  ( 不超过x的最大整数部分)  2  1;  5  7  0.   14 狄利克雷函数： 1,当x是有理数 y  D ( x )  0,当x是无理数 15 3 、函数的几种特性 （有界性、单调性、奇偶性、周期性） 有界性： y  f ( x) 上界： X  D, 如果 数 设函数 的定义域为 D ，数集 K 1 使得 , f ( x ) 在X 上有上界。 : x  X , 都有 f ( x )  K称 1, X在 下界： x  X , K 2 , 都有 f ( x )  K 2 , 称 f ( x ) 上 有下界。 有界： x  X , M  0, 都有 f ( x )  M , 称 f ( x ) X 在 无界：M  0, x 0  f ( x 0 )  M , 上有界。 X, 称 f ( x) X在 使得 上无界。 sin x (  ,) 内，1 是它的一个上界，而大于 1 例如： 在 的 1 由 sin x 知， 任何数都是它的上界 ; -1 是它的一个下界 ; 它是一个有界函数。 1 在（ 0 ， 1 ）内没有上界，但有下界，所以在（ 0 ， 1 ）内无界。 x X 在 定理： f ( x ) 既有上界又下界。 ) 上有界X f ( x在 上 16 4 、反函数 定义 : 设函数 y=f (x) 的定义域为 D, 值域为 W 则对于任意 y0∈W, 必定有 x0∈D, 使 x0= (y0) 即： x 也是 y 的函数，记作： x= (y) 其定义域为 W ，值域为 D. 称为 y=f (x) 的反函数。 注 :相对于 在同一个坐标系中， x=称为直接函数。 (y) 和 y=f (x) 的图像是同一条 x=(y) ， y=f (x) 曲线，只不过自变量 所在的坐标轴不同。 习惯上，总是以 x 作为自变量，函数记做： y=(x), 在同一个坐标系中， y= (x) 和 y=f(x) 的图像是不同的两条 曲线，它们关于直线 y =x 对称。 17 直接函数 y  f  x  为单值函数，反函数 不一定是单值函数 . 例 y x 2 y 在 (  ,  )上反函数是多值函数 . x  y , x  2 x   y  y y x2 y 两个单值分支 y  x 的反函数可写成 y  x  y O y x 18 5. 五种基本初等函数与初等函数 （ 1 ）基本初等函数： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数 统称为基本初等函数。 （ 2 ）初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的 函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等 函数。 注：一般情况下，分段函数不是初等函数， 注： 特别的 : x 0;  x, y  x   x , x  0. 2 是初等函数。因为：y  x  x 2 是 y  u , u  x 复合而成的。 19 特别说明： 反三角函数 反三角函数：反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 y  2  1 y  Arc sin x y  Arc cos x y  Arc tan x y  Arc cot x y y arcsin x O   2 1  2 x  1 O  y arccos x 1 x 20