灰度图像最小误差阈值分割法的二维推广

灰度图像最小误差阈值分割法的二维推广内容摘要：

第 35 卷 第 4 期 2009 年 4 月 自 动 化 学 报 ACTA AUTOMATICA SINICA Vol. 35, No. 4 April, 2009 灰度图像最小误差阈值分割法的二维推广 范九伦 1 雷 博 1, 2 摘 要 一维最小误差阈值法假设了目标和背景的灰度分布服从混合正态分布. 考虑到噪声等因素对图像质量的影响, 本文 在二维灰度直方图上, 基于二维混合正态分布假设, 给出一维最小误差阈值法的二维推广表达式. 为了提高算法的运行速度, 也给出了快速递推算法. 实验表明, 二维最小误差阈值法是一个有效的图像分割算法, 能够更好地适应目标和背景方差相差较 大的图像及噪声图像的分割问题. 关键词 阈值分割, 最小误差阈值法, 二维灰度直方图 中图分类号 TN911.73 Two-dimensional Extension of Minimum Error Threshold Segmentation Method for Gray-level Images FAN Jiu-Lun1 LEI Bo1, 2 Abstract One-dimensional minimum error thresholding method assumed that the histogram distributions of object and background are governed by a mixture Gaussian distribution. Considering the affects of noise and other factors on image quality, based on the assumption of a two-dimensional mixture Gaussian distribution, a two-dimensional expression of the minimum error thresholding method on the two-dimensional gray-level histogram is proposed. In order to improve the running speed, the fast recursive formulas are also given. Experimental results show that the two-dimensional minimum error thresholding method is a valuable image segmentation method, and can be well adapted to the images with noises and large variances between object and background. Key words Threshold segmentation, minimum error thresholding method, two-dimensional gray-level histogram 图像分割是图像分析、理解和计算机视觉中的 难点, 在图像分割的诸多方法中, 阈值化技术以其 简单、有效、便于理解受到人们的普遍欢迎[1] . 其 中, 最大类间方差法[2] (也称 Otsu 法)、最大熵法[3] 、 最小误差阈值法[4] 是三个最常用的分割方法, 它们 均有坚实的理论基础作为支撑. 最小误差阈值法是 Kittler 和 Illingworth 提出的, 他们基于 Bayes 误 差理论, 在假设理想的目标和背景的灰度分布服从 混合正态分布的前提下, 经过合理的处理, 得到了一 个阈值分割表达式. 国际上有很多学者对最小误差 阈值法进行了研究[5−7] , 为了更加清楚地揭示该方 法的理论基础, 我们运用信息论中的相对熵 (也称交 叉熵、有向散度), 基于 “模型匹配” 的思想, 要求实 际的图像灰度直方图与假设的混合正态分布之间差 别最小, 给出了最小误差阈值法的相对熵解释[7] , 为 更好地使用该方法奠定了坚实的理论基础. 收稿日期 2007-11-23 收修改稿日期 2008-04-01 Received November 23, 2007; in revised form April 1, 2008 国家自然科学基金 (60572133) 资助 Supported by National Natural Science Foundation of China (60572133) 1. 西安邮电学院信息与控制系 西安 710061 2. 西安电子科技大学 电子工程学院 西安 710071 1. Department of Information and Control, Xi0 an Institute of Post and Telecommunications, Xi0 an 710061 2. School of Electronic Engineering, Xidian University, Xi0 an 710071 DOI: 10.3724/SP.J.1004.2009.00386 由于一维图像阈值分割方法是在图像的灰度直 方图上进行处理的, 没有充分地使用图像的已有信 息, 对含噪图像的分割效果较差. 为此十余年来, 人 们考虑通过构造二维灰度直方图进行阈值选取, 获 得了更好的分割效果[8−14] . 目前, 针对最大类间方 差法和最大熵法, 已提出了相应的二维推广及其快 速递推算法[13−15] , 但遗憾的是, 至今没有人给出一 维最小误差阈值法的二维推广. 本文的目的是给出 二维最小误差阈值法的表达式, 我们借助已有的研 究成果, 基于相对熵原理, 推导出了希望的结果. 1 一维最小误差阈值法 对于一幅大小为 M × N 的数字图像, 我们用 f (x, y) 表示图像上坐标为 (x, y) 的像素点的灰度 值, f (x, y) ∈ G = [0, 1, · · · , L − 1]. 图像的一维直 方图 h(g) 表示图像中各个灰度值出现的频数, 因此 可以用一维直方图作为图像概率分布的描述. 假设理想的灰度分布模型是混合正态分 P1 布 p(g) = i=0 Pi p(g|i), 这 里 Pi 是 子 分 布 的 先 验 概 率, p(g) 的 二 个 子 分 布 p(g|i) 分 别 服 从均值为 µ µi , 方 差 为 2σ¶i 的 正 态 分 布 p(g|i) = 1 (g − µi ) √ . 对各个参数的估计如 exp − 2σi2 2πσi 下, 如果我们以灰度 t 作为阈值, 那么 4期 范九伦等: 灰度图像最小误差阈值分割法的二维推广 P0 (t) = t X h(g) (1) g=0 P1 (t) = L−1 X h(g) (2) g=t+1 t X µ0 (t) = h(g)g g=0 L−1 X σ02 (t) = = (4) P1 (t) (g − µ0 (t))2 h(g) g=0 邻域平均灰度值, g(x, y) 的定义如下   0 0   K K X X  1  g(x, y) =  f (x + m, y + n) K ×K 0 0 m=−K n=−K (10) 其中 b·c 表示取整运算; K 为邻域宽度, 一般取奇 0 数, K = (K − 1)/2. 从 g(x, y) 的定义可以看出, 如果图像的灰度级 为 L, 那么相应的像素邻域平均灰度的灰度级也为 L, f (x, y) 和 g(x, y) 组成的二元组记为 (i, j). 在此 基础上定义图像的二维直方图, 该二维直方图定义 在一个 (L − 1) × (L − 1) 大小的正方形区域上, 其横 坐标表示图像像元的灰度值, 纵坐标表示像元的邻 域平均灰度值. 直方图中任意一点的值定义为 Pij , 它表示二元组 (i, j) 发生的频率. 由下式确定 Pij = (5) P0 (t) L−1 X σ12 (t) h(g)g g=t+1 µ1 (t) = t X (3) P0 (t) 2 (g − µ1 (t)) h(g) g=t+1 P1 (t) (6) 对于阈值 t ∈ G = [0, 1, · · · , L − 1], Kittler 和 Illingworth 基于最小分类误差思想给出下面的函数 J(t) = 1 + 2[P0 (t) ln σ0 (t) + P1 (t) ln σ1 (t)] − 2[P0 (t) ln P0 (t) + P1 (t) ln P1 (t)] (7) 387 cij M ×N (11) 其中, cij 是 (i, j) 出现的频数, 0 ≤ i, j ≤ L − 1, PL−1 PL−1 i=0 j=0 Pij = 1. 根据二维直方图的定义, 假设在阈值 (s, t) 处将 图像分割成四个区域, 如图 1 所示. 其中, 对角线上 的两个区域分别对应于目标和背景, 远离对角线的 区域 3 和 4 对应于边缘和噪声, 一般认为在区域 3 和 4 上所有的 Pij ≈ 0[8−10] . 在图 1 中, 利用二维直 方图中阈值矢量对图像进行分割时, 把区域 1 和 2 分别看成目标和背景区域, 记为 C0 (s, t) 和 C1 (s, t). 最佳阈值选为使 J(t) 取最小值的 t = t∗ , 即 t∗ = arg min J(t) 0<t<L−1 得到最佳阈值后像元的归类方式为 ( 0, 若 f (x, y) < t∗ f (x, y) = 255, 若 f (x, y) ≥ t∗ (8) (9) 其中, f (x, y) 为二值化后的分割图像. 上述方法称 为最小误差阈值法, 为了更好地理解该方法, 我们基 于信息论中的相对熵[16] , 通过实际分布 h(g) 与假设 分布 p(g) 之间的相对熵最小, 重新推导出该表达式, 更加明确了该方法的数学机理. 最小误差阈值法是 基于一维直方图的, 仅考虑了图像的点灰度信息, 对 于噪声图像分割效果不很理想. 为此, 本文给出该方 法的二维推广. 2 二维最小误差阈值法 对于一幅大小为 M × N 的数字图像, 我们用 g(x, y) 表示图像上坐标为 (x, y) 的像素点的 K × K 图1 Fig. 1 二维分割区域 2D segmentation area 二维正态分布随机变量 (X, Y ) 的概率密度